Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C.
x(t), p(t).
˙x =
∂H(x, p)
∂p
=
p
m
+ 2λ
µ
p
2
2m
+
mω
2
x
2
2
p
m
.
p x
x(t) :
˙x = ±(1 + 2λC)
r
2C
m
− ω
2
x
2
,
x(t) = x
0
+
r
2C
mω
2
sin {(1 + 2λC)ω(t − t
0
)} , x
0
= x(t
0
) .
Ω = (1 + 2λC)ω
A =
p
2C/mω
2
.
Ω = ω(1 + λmω
2
A
2
) .
f(q, p), g(q, p)
{f, g} =
s
X
α=1
µ
∂f
∂p
α
∂g
∂q
α
−
∂f
∂q
α
∂g
∂p
α
.
˙p
α
= {H, p
α
}, α = 1, ..., s ,
˙q
α
= {H, q
α
}, α = 1, ..., s .
q, p,
{H, p
α
} =
s
X
β=1
µ
∂H
∂p
β
∂p
α
∂q
β
−
∂H
∂q
β
∂p
α
∂p
β
= −
s
X
β=1
∂H
∂q
β
δ
αβ
= −
∂H
∂q
α
.
f(q, p, t),
df
dt
=
s
X
α=1
µ
∂f
∂q
α
˙q
α
+
∂f
∂p
α
˙p
α
+
∂f
∂t
=
s
X
α=1
µ
∂f
∂q
α
∂H
∂p
α
−
∂f
∂p
α
∂H
∂p
α
+
∂f
∂t
,
ñ íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé ïîñòîÿííîé C. Ýòî óðàâíåíèå ñâÿçûâàåò äâå íåèçâåñòíûõ
ôóíêöèè x(t), p(t). Äîïîëíèì åãî óðàâíåíèåì (170):
                                            µ 2           ¶
                          ∂H(x, p)   p       p     mω 2 x2 p
                     ẋ =          =   + 2λ     +             .
                            ∂p       m       2m      2      m

Âûðàæàÿ çäåñü p ÷åðåç x ñ ïîìîùüþ (175), ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ
ôóíêöèè x(t) :
                                           r
                                             2C
                           ẋ = ±(1 + 2λC)      − ω 2 x2 ,
                                             m
èíòåãðèðóÿ êîòîðîå ïóòåì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, íàõîäèì
                         r
                           2C
             x(t) = x0 +        sin {(1 + 2λC)ω(t − t0 )} , x0 = x(t0 ) .
                           mω 2
Ýòîò çàêîípîïèñûâàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé Ω = (1 + 2λC)ω è àìïëè-
òóäîé A = 2C/mω 2 . Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷àñòîòà ðàññìàòðèâàåìûõ êîëåáàíèé çàâèñèò
îò èõ àìïëèòóäû ñîãëàñíî
                              Ω = ω(1 + λmω 2 A2 ) .


  Ñêîáêè Ïóàññîíà

   Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìàëüíî ñèììåòðè÷íîì âèäå, åñëè
ââåñòè òàê íàçûâàåìóþ ñêîáêó Ïóàññîíà, îïðåäåëåííóþ äëÿ äâóõ ôóíêöèé îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ f (q, p), g(q, p) (ýòè ôóíêöèè òàêæå ìîãóò çàâèñåòü
îò âðåìåíè èëè îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ïàðàìåòðîâ):

                                  Xs µ                       ¶
                                       ∂f ∂g       ∂f ∂g
                         {f, g} =                −             .               (176)
                                  α=1
                                       ∂p α ∂q α   ∂q α ∂p α


Òîãäà óðàâíåíèÿ (169) è (170) ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â âèäå

                              ṗα = {H, pα } ,   α = 1, ..., s ,               (177)
                              q̇α = {H, qα } ,   α = 1, ..., s .               (178)

Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ q, p, èìååì, íàïðèìåð,
                      s µ
                      X                     ¶    s
                                                 X
                          ∂H ∂pα ∂H ∂pα             ∂H          ∂H
           {H, pα } =             −           =−        δαβ = −     .
                       β=1
                          ∂pβ ∂qβ   ∂qβ ∂pβ         ∂qβ  β=1
                                                                ∂qα

Çàìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ñêîáîê Ïóàññîíà ìîæíî êîìïàêòíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ
ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f (q, p, t), à èìåííî, èñïîëü-
çóÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåì
              Xs µ                 ¶       Xs µ                    ¶
         df        ∂f       ∂f        ∂f        ∂f ∂H    ∂f ∂H         ∂f
            =         q̇α +     ṗα +    =             −             +    ,
         dt α=1 ∂qα         ∂pα       ∂t   α=1
                                                ∂qα ∂pα ∂pα ∂pα        ∂t

                                           61

Страницы