Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

˙
R = p
R
/µ.
˙
R = 0. φ ψ
z z
0
. p
φ
p
ψ
z
M.
p
φ
= M , p
ψ
= M cos θ .
M, p
ψ
θ.
p
φ
= I
x
0
˙
φ sin
2
θ + p
ψ
cos θ .
˙
φ =
M
I
x
0
,
˙
φ
˙
ψ :
˙
ψ = M cos θ
µ
1
I
z
0
−
1
I
x
0
.
z
0
M/I
x
0
z,
z
0
Ω
z
0
=
˙
φ cos θ +
˙
ψ =
M
I
z
0
cos θ .
E = L L
i
U
i
= −g
i
(F , r
i
) ,
F g
i
r
i
= R + ρ
i
U = −G(F , R) −(F , d) ,
G =
N
P
i=1
g
i
d =
N
P
i=1
g
i
ρ
i
d
Ïåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ âûðàæàåò ñîõðàíåíèå ïîëíîãî èìïóëüñà òâåðäî-
ãî òåëà. Èç íåãî ñëåäóåò, êàê âñåãäà, ÷òî öåíòð èíåðöèè òåëà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ Ṙ = pR /µ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå â ñèñòåìå öåíòðà èíåðöèè òåëà,
ïîëîæèâ Ṙ = 0. Äàëåå, êîîðäèíàòû φ è ψ ÿâëÿþòñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, óãëàìè ïîâî-
ðîòà òåëà âîêðóã îñåé z è z 0 . Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå èì îáîáùåííûå èìïóëüñû pφ
è pψ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîåêöèè ïîëíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà òåëà íà ýòè îñè [ñì.
ôîðìóëó (40)]. Âûáåðåì îñü z íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âäîëü ñîõðàíÿþùåãîñÿ
âåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà M . Òîãäà

                                    pφ = M ,     pψ = M cos θ .

Ïîñêîëüêó M, pψ ïîñòîÿííû, òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ïîñòîÿíåí è óãîë
θ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèé (143), (144) ñëåäóåò, ÷òî

                                   pφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .

Êîìáèíèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïðåäûäóùèìè, ïîëó÷àåì
                                                    M
                                             φ̇ =       ,
                                                    Ix0

ò.å., îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü φ̇ òàêæå ïîñòîÿííà. Íàêîíåö, èç óðàâíåíèÿ (144) ñëåäóåò
ïîñòîÿíñòâî îáîáùåííîé ñêîðîñòè ψ̇ :
                                           µ           ¶
                                              1     1
                              ψ̇ = M cos θ       −       .
                                             Iz0   Ix0

Òàêèì îáðàçîì, îñü z 0 ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ M/Ix0 âîêðóã îñè z, îáðàçóÿ
c íåé ïîñòîÿííûé óãîë (ðåãóëÿðíàÿ ïðåöåññèÿ îñè). Ïðè ýòîì ñàì âîë÷îê ðàâíîìåðíî
âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè z 0 ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ [ñì. óðàâíåíèå (137)]
                                                            M
                                  Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ =         cos θ .
                                                            Iz0
Çàìåòèì, ÷òî ýíåðãèÿ âîë÷êà (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå E = L) òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ (L
íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè!). Îäíàêî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íå äàåò íè÷åãî íîâîãî,
òàê êàê îí ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (142)  (144).

Ïðèìåð 12. Äâèæåíèå òÿæåëîãî ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òâåð-
äîãî òåëà â îäíîðîäíîì ïîëå. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ i-îé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè òåëà â
òàêîì ïîëå åñòü
                                 Ui = −gi (F , ri ) ,
ãäå F îáîçíà÷àåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, à gi  çàðÿä òî÷êè. Ïîäñòàâëÿÿ ri = R + ρi è
ñóììèðóÿ ïî âñåì òî÷êàì òåëà, ïîëó÷àåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òåëà

                                    U = −G(F , R) − (F , d) ,

          P
          N                                         P
                                                    N
ãäå G =         gi åñòü ïîëíûé çàðÿä òåëà, à d =          gi ρi  åãî äèïîëüíûé ìîìåíò. Àíàëîãè÷-
          i=1                                       i=1
íî òåíçîðó ìîìåíòîâ, êîìïîíåíòû âåêòîðà d èìåþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ â ïîäâèæíîé

                                               53

Страницы