Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M
x
0
=
∂L
∂Ω
x
0
=
∂T
∂Ω
x
0
= I
x
0
Ω
x
0
, M
y
0
= I
y
0
Ω
y
0
, M
z
0
= I
z
0
Ω
z
0
.
t
0
T
[t
0
, t
0
+ dt]. φ, θ, ψ
dφ, dθ, dψ,
dφ
z, dθ (x, y) (x
0
, y
0
)
dψ z
0
(dϕ)
x
0
= dφ sin θ sin ψ + dθ cos ψ ,
(dϕ)
y
0
= dφ sin θ cos ψ − dθ sin ψ ,
(dϕ)
z
0
= dφ cos θ + dψ .
dt
Ω
x
0
=
˙
φ sin θ sin ψ +
˙
θ cos ψ ,
Ω
y
0
=
˙
φ sin θ cos ψ −
˙
θ sin ψ ,
Ω
z
0
=
˙
φ cos θ +
˙
ψ .
T =
µ
˙
R
2
2
+
1
2
n
I
x
0
(
˙
φ sin θ sin ψ +
˙
θ cos ψ)
2
+ I
y
0
(
˙
φ sin θ cos ψ −
˙
θ sin ψ)
2
+I
z
0
(
˙
φ cos θ +
˙
ψ)
2
o
.
L = T (θ, ψ,
˙
φ,
˙
θ,
˙
ψ,
˙
R) −U(R, φ, θ, ψ) .
äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî óãëîâîé ñêîðîñòè äàñò ìîìåíò èìïóëüñà
òåëà:
                      ∂L     ∂T
             Mx0 =        =      = Ix0 Ωx0 ,          My0 = Iy0 Ωy0 ,   Mz0 = Iz0 Ωz0 .            (135)
                     ∂Ωx0   ∂Ωx0
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè t0 ýòè ôîðìóëû áóäóò ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè.
   Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü T ÷åðåç ýéëåðîâû óãëû, íàì îñòàåòñÿ íàéòè ïðîåêöèè óã-
ëîâîé ñêîðîñòè íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî ñíîâà ðàññìîòðèì äâèæåíèå òåëà
íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [t0 , t0 + dt]. Çà ýòî âðåìÿ óãëû φ, θ, ψ ïîëó-
÷àþò ïðèðàùåíèÿ dφ, dθ, dψ, ñîîòâåòñòâåííî. Äàííûé ïîâîðîò òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåõ ýëåìåíòàðíûõ ïîâîðîòîâ, ïðè êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ëèøü
îäíà óãëîâàÿ êîîðäèíàòà, à îñòàëüíûå äâå ôèêñèðîâàíû. Ïðè ýòîì, âûïîëíÿÿ âòîðîé
èëè òðåòèé ïîâîðîò, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðèðàùåíèÿìè óãëîâ, êîòîðûå îíè ïîëó÷èëè
íà ïðåäûäóùèõ ýòàïàõ, â ñèëó ìàëîñòè ýòèõ ïðèðàùåíèé. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ïîðÿäîê
ïîâîðîòîâ íå âàæåí. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ óãëîâ Ýéëåðà âåêòîð dφ áóäåò íàïðàâëåí ïî
îñè z, âåêòîð dθ  ïî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé (x, y) è (x0 , y 0 ) (íàçûâàåìîé ëèíèåé
óçëîâ), è âåêòîð dψ  ïî îñè z 0 (ñì. Ðèñ. 8). Ðàçëàãàÿ ýòè âåêòîðû ïî îñÿì ïîäâèæíîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò è ñóììèðóÿ òðè âêëàäà, ïîëó÷èì

                              (dϕ)x0 = dφ sin θ sin ψ + dθ cos ψ ,
                              (dϕ)y0 = dφ sin θ cos ψ − dθ sin ψ ,
                              (dϕ)z0 = dφ cos θ + dψ .                                             (136)

Äåëÿ ýòè óðàâíåíèÿ íà dt è ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå (129) âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè,
íàõîäèì ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû

                                  Ωx0 = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ ,
                                  Ωy0 = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ ,
                                  Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ .                                            (137)

Ïîäñòàíîâêà â âûðàæåíèå (134) äàåò

               µṘ2 1 n
         T =         +       Ix0 (φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ)2 + Iy0 (φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ)2
                2        2             o
               +Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 .                                                             (138)

Íàêîíåö, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà âû÷èòàíèåì ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèè òåëà êàê ôóíêöèè åãî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò:

                            L = T (θ, ψ, φ̇, θ̇, ψ̇, Ṙ) − U (R, φ, θ, ψ) .

Ïîñëå ýòîãî ñëåäóåò ïåðåõîäèòü ê ïï. D,E àëãîðèòìà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèìåðû.

Ïðèìåð 9. Òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè æåñòêîãî ðîòàòîðà. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿ-
ùóþ èç äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñêðåïëåííûõ æåñòêèì íåâåñîìûì ñòåðæíåì. Òàêóþ
ñèñòåìó íàçûâàþò æåñòêèì ðîòàòîðîì. Ïðèìåðîì ðîòàòîðà ìîæåò ñëóæèòü äâóõ-
àòîìíàÿ ìîëåêóëà, ó êîòîðîé íå âîçáóæäåíû êîëåáàíèÿ. Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó

                                                 51

Страницы