Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r
0
i
, i = 1, ..., N
U(r)
r
0
U(r)
U(r).
P =
N
X
i=1
∂L
∂
˙
r
i
=
N
X
i=1
m
i
˙
r
i
= P
0
,
N
X
i=1
m
i
r
i
= P
0
t + R
0
.
P
0
, R
0
R =
1
µ
N
X
i=1
m
i
r
i
,
µ =
N
X
i=1
m
i
P
0
/µ.
P
0
= 0.
1
µ
N
X
i=1
m
i
r
i
=
1
µ
N
X
i=1
m
i
r
0
i
,
N
X
i=1
m
i
u
i
= 0 ,
u
i
= r
i
− r
0
i
, i = 1, ..., N .
M =
N
X
i=1
[r
i
, p
i
] =
N
X
i=1
m
i
[r
i
,
˙
r
i
] = M
0
   Ïóñòü ri0 , i = 1, ..., N îáîçíà÷àþò ðàäèóñ-âåêòîðû ÿäåð â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Â
ýòîì ïîëîæåíèè U (r) èìååò íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ýòî, îäíàêî, íå îçíà÷à-
åò, ÷òî â òî÷êå r 0 U (r) èìååò ìèíèìóì. Äåëî â òîì, ÷òî ëþáîé ïåðåíîñ èëè ïîâîðîò
ìîëåêóëû êàê öåëîãî íå ìåíÿåò âåëè÷èíû U (r). Ïîýòîìó äëÿ òîãî ÷òîáû èññëåäîâàòü
ñîáñòâåííî êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî èñêëþ÷èòü
åå ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ.
   Ðàññìîòðèì ñïåðâà ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû êàê öåëîãî. Èíòåãðèðóÿ ïî
âðåìåíè çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà

                                XN           N
                                    ∂L X
                            P =           =     mi ṙi = P0 ,
                                i=1
                                    ∂ ṙi   i=1

íàõîäèì
                                N
                                X
                                        mi ri = P0 t + R0 .
                                 i=1

Çäåñü P0 , R0  íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð öåí-
òðà ìàññ ìîëåêóëû
                                           N
                                        1X
                                   R=         m i ri ,
                                        µ i=1
ãäå
                                                 N
                                                 X
                                          µ=             mi
                                                   i=1

åñòü ñóììàðíàÿ ìàññà ÿäåð ìîëåêóëû, äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ P0 /µ. Òàêèì
îáðàçîì, óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû òðåáóåò ðàâåíñòâà
íóëþ åå èìïóëüñà: P0 = 0. Äàëåå, ðàñïîëîæèì öåíòð ìàññ êîëåáëþùåéñÿ ìîëåêóëû
â òîé æå òî÷êå, â êîòîðîé îí íàõîäèëñÿ äî âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ò.å. êîãäà ÿäðà
çàíèìàëè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ýòî äàåò
                                    N                      N
                               1X            1X
                                     mi ri =       mi ri0 ,
                               µ i=1         µ i=1

èëè
                                        N
                                        X
                                              m i ui = 0 ,                       (117)
                                        i=1

ãäå ui = ri − ri0 , i = 1, ..., N .
   Ðàññìîòðèì òåïåðü âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû.  îòëè÷èå îò çàêîíà ñîõðà-
íåíèÿ èìïóëüñà, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà
                              N
                              X                    N
                                                   X
                        M=          [ri , pi ] =           mi [ri , ṙi ] = M0
                              i=1                    i=1

íå ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàí â îáùåì ñëó÷àå, ò.ê. âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè íå ÿâ-
ëÿåòñÿ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè êàêîé-ëèáî ôóíêöèè êîîðäèíàò. Îíî ÿâëÿåòñÿ

                                                42

Страницы