Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

s − r, r > 1
s − 1
M
αβ
= 0,
A
(1)
α
, A
(2)
α
ω
2
1
= ω
2
2
,
c
1
A
(1)
α
+ c
2
A
(2)
α
C
(k)
α
s
X
β=1
¡
−m
αβ
ω
2
k
+ k
αβ
¢
C
(k)
β
= 0 , α = 1, ..., s.
L =
m
1
˙
ξ
1
2
2
+
m
2
˙
ξ
2
2
2
−
k
1
ξ
2
1
2
−
k
2
ξ
2
2
2
.
ω
2
1
= k
1
/m
1
= k
2
/m
2
= ω
2
2
.
ξ
1
=
µ
ξ
0
1
cos γ +
r
m
2
m
1
ξ
0
2
sin γ
, ξ
2
=
µ
−
r
m
1
m
2
ξ
0
1
sin γ + ξ
0
2
cos γ
,
γ
L =
m
1
˙
ξ
0
1
2
2
+
m
2
˙
ξ
0
2
2
2
−
k
1
ξ
02
1
2
−
k
2
ξ
02
2
2
.
ξ
0
1
(t), ξ
0
2
(t)
(−m
1
ω
2
k
+ k
1
)C
(k)
1
= 0 ,
(−m
2
ω
2
k
+ k
2
)C
(k)
2
= 0 .
C
(k)
α
:
C
1
=
µ
C
0
1
cos γ +
r
m
2
m
1
C
0
2
sin γ
, C
2
=
µ
−
r
m
1
m
2
C
0
1
sin γ + C
0
2
cos γ
.
  Âûðîæäåííûé ñëó÷àé

    ñëó÷àå íàëè÷èÿ êðàòíûõ ÷àñòîò ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (103), ñîîòâåòñòâóþùèå íåâû-
ðîæäåííûì ÷àñòîòàì, ïî-ïðåæíåìó èìåþò âèä (108), òîãäà êàê äëÿ âûðîæäåííûõ ÷à-
ñòîò ÷èñëî ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå (103) ðàâíî s − r, ãäå r > 1 
êðàòíîñòü äàííîãî êîðíÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, è ïîòîìó âñå ìèíîðû s − 1-
ãî ïîðÿäêà Mαβ = 0, òàê ÷òî ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå (108). Ñîâïàäåíèå
íåêîòîðûõ ÷àñòîò îçíà÷àåò íàëè÷èå ïðîèçâîëà â âûáîðå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ëèíåéíî-
íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (103). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ êàêèõ-ëèáî äâóõ ðåøå-
      (1)   (2)
íèé Aα , Aα ñèñòåìû (103) ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû ω12 = ω22 , òî è ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ
                (1)     (2)
êîìáèíàöèÿ c1 Aα + c2 Aα ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (103) ñ òîé æå ÷àñòîòîé. Êîí-
êðåòíûé âûáîð ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé â âûðîæäåííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîáðàæåíèÿìè óäîáñòâà, â îñòàëüíîì æå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è òîò æå, ÷òî è â
íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå.  ÷àñòíîñòè, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èìååò âèä
                                    (k)
(107), ãäå âåùåñòâåííûå àìïëèòóäû Cα óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé
                     s
                     X ¡                  ¢ (k)
                            −mαβ ωk2 + kαβ Cβ = 0 ,       α = 1, ..., s.          (110)
                     β=1

   Äëÿ óÿñíåíèÿ ïðèðîäû âûðîæäåíèÿ óêàæåì, ÷òî åãî ïîÿâëåíèå ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì
òîé èëè èíîé íåïðåðûâíîé ñèììåòðèè â ñèñòåìå. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, äâóìåðíûé
îñöèëëÿòîð, îïèñûâàåìûé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà
                                      2        2
                              m1 ξ˙1   m2 ξ˙2   k1 ξ12 k2 ξ22
                           L=        +        −       −       .                   (111)
                               2        2        2      2
Ýòà ñèñòåìà âûðîæäåíà, åñëè ω12 = k1 /m1 = k2 /m2 = ω22 . Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ
ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
             µ          r            ¶         µ r                           ¶
               0          m2 0                      m1 0              0
        ξ1 = ξ1 cos γ +      ξ sin γ , ξ2 = −              ξ sin γ + ξ2 cos γ ,   (112)
                          m1 2                      m2 1

ãäå γ ïðîèçâîëüíî, íå ìåíÿåò âèäà ôóíêöèè Ëàãðàíæà:
                                     2         2
                              m1 ξ˙10   m2 ξ˙20   k1 ξ102 k2 ξ202
                           L=         +         −        −        .               (113)
                               2         2          2       2
Ïîýòîìó åñëè ïàðà ôóíêöèé ξ10 (t), ξ20 (t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî
ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ è èõ êîìáèíàöèÿ (112). Ñèñòåìà (110) èìååò â ðàññìàòðèâàåìîì
ñëó÷àå âèä
                                                   (k)
                                  (−m1 ωk2 + k1 )C1 = 0 ,
                                                   (k)
                                  (−m2 ωk2 + k2 )C2 = 0 .                         (114)
                                                                           (k)
Ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè (112) îïðåäåëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå àìïëèòóä Cα :
           µ          r           ¶         µ r                        ¶
              0         m2 0                     m1 0           0
      C1 = C1 cos γ +      C sin γ , C2 = −          C sin γ + C2 cos γ .         (115)
                        m1 2                     m2 1

                                             40

Страницы