Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 37 стр.

åñòü ìàòðèöà ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Çàìåòèì, ÷òî kαβ = kβα , â ñèëó ïåðåñòàíî-
âî÷íîñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ. ×ëåí U (q (0) ) â âûðàæåíèè (98) ìîæåò áûòü îïóùåí.
Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âõîäÿò òîëüêî ïðîèçâîäíûå îò L, äîáàâëåíèå ïîñòî-
ÿííîé ê ôóíêöèè Ëàãðàíæà íå ìåíÿåò ýòèõ óðàâíåíèé. Äàëåå, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ïî ìàëûì ñêîðîñòÿì ξ,  ˙ ïîýòîìó â íèçøåì ïîðÿäêå â êîýôôè-
öèåíòàõ m(q) ìîæíî ïîëîæèòü q = q : ó÷åò çàâèñèìîñòè m(q (0) + ξ) îò ξ ïðèâåë áû
                                   (0)

ê ÷ëåíàì ñëåäóþùåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Òàêèì îáðàçîì, â íèçøåì ïîðÿäêå ïî ìàëûì
ξ, ξ˙ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèä
                                Xs                  s
                                     mαβ ˙ ˙    1 X
                            L=          ξα ξβ −         kαβ ξα ξβ ,                                (99)
                               α,β=1
                                      2         2 α,β=1


ãäå mαβ = mαβ (q (0) ). Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìååì
                              s
                                     Ã                      !
                      ∂L      X  mαβ ∂ ξ˙α ˙          ∂ ξ˙β
                            =                ξβ + ξ˙α         , γ = 1, ..., s.
                      ∂ ξ˙γ  α,β=1
                                  2    ∂ ξ˙γ          ∂ ξ˙γ

 ñèëó íåçàâèñèìîñòè îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé ξ˙

                                             ∂ ξ˙α
                                                   = δαγ .
                                             ∂ ξ˙γ
Ïîýòîìó

                    mαβ ³                ´ X
                Xs                           s          Xs
         ∂L                   ˙    ˙            mγβ ˙       mαγ ˙
              =           δαγ ξβ + ξα δβγ =        ξβ +        ξα ,              γ = 1, ..., s.
         ∂ ξ˙γ α,β=1 2                      β=1
                                                 2      α=1
                                                             2

Èç îïðåäåëåíèÿ (97) ñëåäóåò, ÷òî mαβ = mβα . Ó÷èòûâàÿ ýòî è çàìåíÿÿ èíäåêñ ñóììè-
ðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè íà α, ïîëó÷èì
                                       X s
                                ∂L
                                     =     mγα ξ˙α ,    γ = 1, ..., s.
                                  ˙
                                ∂ ξγ   α=1

Àíàëîãè÷íî,
                                       Xs
                                ∂L
                                    =−     kγα ξα ,      γ = 1, ..., s.
                                ∂ξγ    α=1

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò ñëåäóþùèé âèä
                          s ³
                          X                     ´
                                mαβ ξ¨β + kαβ ξβ = 0 ,       α = 1, ..., s.                       (100)
                          β=1


Íàïîìèíàíèå.  âûâîäå óðàâíåíèé (100) èñïîëüçîâàëàñü ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèö mαβ ,
kαβ . Ïîýòîìó ïîñëå ñ÷èòûâàíèÿ ýòèõ ìàòðèö ñ ôóíêöèè Ëàãðàíæà èõ ñëåäóåò ñèì-
ìåòðèçîâàòü, ò.å. çàìåíèòü mαβ → (mαβ + mβα )/2, kαβ → (kαβ + kβα )/2.
   Çàìåòèì, ÷òî ξα (t) = 0, α = 1, ..., s ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé (100). Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè q = q (0) ,

                                                37