Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

δS ≡ S[¯q(t) + q(t)] − S[¯q(t)]
=
t
2
Z
t
1
L(¯q(t) + δq(t),
˙
¯q(t) + δ ˙q(t), t)dt −
t
2
Z
t
1
L(¯q(t),
˙
¯q(t), t)dt
=
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
½
∂L
∂q
α
δq
α
(t) +
∂L
∂ ˙q
α
δ ˙q
α
(t)
¾
dt ,
∂L/∂q, ∂L/∂ ˙q ¯q(t).
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
δ ˙q
α
dt =
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
∂L
∂ ˙q
α
d
dt
δq
α
(t)dt =
s
X
α=1
∂L
∂ ˙q
α
δq
α
(t)
¯
¯
¯
¯
¯
t
2
t
1
−
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
δq
α
(t)
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
dt .
¯q(t),
¯q(t) + δq(t) δq(t
1
) =
δq(t
2
) = 0.
δS =
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
δq
α
(t)
½
∂L
∂q
α
−
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
¾
dt .
δS > 0. δS
¯q(t) +
δq(t), δS > 0.
¯q(t) − δq(t) δS < 0,
S[¯q(t)].
δS =
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
δq
α
(t)
½
∂L
∂q
α
−
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
¾
dt = 0 .
δq
¯q(t)
∂L
∂q
α
−
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
= 0 , α = 1, ..., s ,
¯q(t)
äåéñòâèÿ áóäåò ðàâíî

                   δS ≡ S[q̄(t) + q(t)] − S[q̄(t)]
                        Zt2                                      Zt2
                      =                       ˙ + δ q̇(t), t)dt − L(q̄(t), q̄(t),
                            L(q̄(t) + δq(t), q̄(t)                          ˙     t)dt
                            t1                                                           t1
                            Zt2      s ½
                                     X                                    ¾
                                             ∂L            ∂L
                        =                        δqα (t) +       δ q̇α (t) dt ,                                      (48)
                                     α=1
                                             ∂qα           ∂ q̇α
                            t1


ãäå ïðîèçâîäíûå ∂L/∂q, ∂L/∂ q̇ âû÷èñëÿþòñÿ íà òðàåêòîðèè q̄(t). Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî
(29), êîòîðîå äëÿ âàðèàöèé âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé âûâîäèòñÿ â òî÷íîñòè òàê æå, êàê
â II Ÿ1, ïðîèíòåãðèðóåì âòîðîé ÷ëåí â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïî ÷àñòÿì

  Zt2 X                              Zt2                                         ¯ t2
      s                       X  s                              Xs               ¯    Xs Zt2
             ∂L                            ∂L d                     ∂L           ¯                   d ∂L
                   δ q̇α dt =                       δqα (t)dt =           δqα (t)¯ −         δqα (t)          dt .
       α=1
             ∂ q̇α            α=1
                                           ∂ q̇α dt             α=1
                                                                    ∂ q̇α        ¯    α=1
                                                                                                     dt ∂ q̇α
  t1                                 t1                                                       t1      t1


Ïåðâûé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè îáðàùàåòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó êàê ôóíêöèÿ q̄(t),
òàê è ôóíêöèÿ q̄(t) + δq(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (46), è ñëåäîâàòåëüíî, δq(t1 ) =
δq(t2 ) = 0. Ïîýòîìó âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ïðèíèìàåò âèä

                                             s Z
                                             X
                                                        t2             ½                   ¾
                                                                           ∂L   d ∂L
                                     δS =                    δqα (t)          −                dt .                  (49)
                                              α=1 t
                                                                           ∂qα dt ∂ q̇α
                                                        1


Ïî ïðåäïîëîæåíèþ, δS > 0. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî δS íà ñàìîì äåëå äîëæíî áûòü ðàâíî
íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ âèðòóàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ q̄(t) +
δq(t), äëÿ êîòîðîé δS > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (49) ñëåäîâàëî áû, ÷òî äëÿ âèðòóàëüíîé
òðàåêòîðèè q̄(t) − δq(t) âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ δS < 0, â ïðîòèâîðå÷èè ñ ìèíèìàëüíîñòüþ
âåëè÷èíû S[q̄(t)]. Òàêèì îáðàçîì,

                                           s Z
                                           X
                                                   t2             ½                    ¾
                                                                       ∂L   d ∂L
                                 δS =                   δqα (t)           −                dt = 0 .                  (50)
                                           α=1 t
                                                                       ∂qα dt ∂ q̇α
                                                1


 ñèëó íåçàâèñèìîñòè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è ïðîèçâîëüíîñòè èõ âàðèàöèé, ïîñëåä-
íåå ðàâåíñòâî áóäåò óäîâëåòâîðÿòüñÿ, òîëüêî åñëè êîýôôèöèåíòû ïðè âñåõ δq íåçàâè-
ñèìî äðóã îò äðóãà îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò.å. ôóíêöèè q̄(t) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì
Ëàãðàíæà

                                           ∂L   d ∂L
                                              −         = 0,                  α = 1, ..., s ,
                                           ∂qα dt ∂ q̇α

à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî q̄(t)  äåéñòâèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ.




                                                                       19

Страницы