Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
X
i=1
µ
∂L
∂
˙
r
i
,
δr
i
²
=
N
X
i=1
(p
i
, [n, r
i
]) =
N
X
i=1
(n, [r
i
, p
i
]) .
Ã
n,
N
X
i=1
[r
i
, p
i
]
!
= const .
n
M =
N
X
i=1
m
i
, m
i
= [r
i
, p
i
] ,
x
n. x
x ≡ q
1
, n
½
δq
1
= ²,
δq
α
= 0, α = 2, ..., s,
⇒
½
Q
1
= 1,
Q
α
= 0, α = 2, ..., s,
∂L
∂ ˙x
= const .
∂L
∂ ˙x
= (P , n) .
x
n. ϕ
ϕ ≡ q
2
,
∂L
∂ ˙ϕ
= const
ïåðåñòàâëÿÿ ñîìíîæèòåëè ñêàëÿðíî-âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåì

                 XN µ            ¶ X N                    XN
                      ∂L δri
                             ,    =     (pi , [n, ri ]) =     (n, [ri , pi ]) .   (35)
                 i=1
                      ∂ ṙ i   ²    i=1                   i=1

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ (31) ïðèíèìàåò âèä
                            Ã    N
                                             !
                                X
                             n,    [ri , pi ] = const .                           (36)
                                      i=1

Òàêèì îáðàçîì, èç èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé âîêðóã íàïðàâëå-
íèÿ n ñëåäóåò ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè íà ýòî íàïðàâëåíèå âåêòîðà
                                      N
                                      X
                               M=           mi ,   mi = [ri , pi ] ,
                                      i=1

íàçûâàåìîãî ìîìåíòîì èìïóëüñà ñèñòåìû. Îòíîñèòåëüíî çàìêíóòîé ñèñòåìû ïðî-
ñòðàíñòâî èçîòðîïíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, è ïîòîìó ìîìåíò èìïóëüñà òàêîé ñèñòåìû
ñîõðàíÿåòñÿ.
   Íà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå â ëåâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (33) è (36) ìîæíî ïîñìîòðåòü òàêæå
è ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ. Âåðíåìñÿ ê çàïèñè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ â ôîðìå (31). Îáîçíà-
÷èì ÷åðåç x äåêàðòîâó êîîðäèíàòó, îïðåäåëÿþùóþ ïîëîæåíèå ñèñòåìû êàê öåëîãî ïî
îñè, ïàðàëëåëüíîé âåêòîðó n. Åñëè ìû ïðèìåì x çà îäíó èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò,
ñêàæåì x ≡ q1 , òî ïðè òðàíñëÿöèè â íàïðàâëåíèè n âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò
áóäóò èìåòü âèä
               ½                              ½
                 δq1 = ²,                       Q1 = 1,
                                         ⇒
                 δqα = 0, α = 2, ..., s,        Qα = 0, α = 2, ..., s,

Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (31) ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ

                                        ∂L
                                             = const .                            (37)
                                        ∂ ẋ
Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü òîæäåñòâà (32) íå çàâèñèò îò âûáîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò,
òî âåëè÷èíà const  òà æå, ÷òî è â óðàâíåíèè (33), ò.å.

                                       ∂L
                                            = (P , n) .                           (38)
                                       ∂ ẋ
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî x äàåò âåëè÷èíó ïðîåêöèè èì-
ïóëüñà ñèñòåìû íà íàïðàâëåíèå n. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìû âûáåðåì óãîë ïîâîðîòà ϕ ñè-
ñòåìû êàê öåëîãî âîêðóã íåêîòîðîé îñè çà îäíó èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, ñêàæåì,
ϕ ≡ q2 , òî âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðè ïîâîðîòå âîêðóã äàííîé îñè áóäóò
èìåòü òîò æå âèä, ÷òî è âûøå, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîõðàíÿþùàÿñÿ âåëè÷èíà

                                         ∂L
                                              = const                             (39)
                                         ∂ ϕ̇


                                              15

Страницы