Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

q
(ρ, φ, z), z
φ.
x = ρ cos φ , y = ρ sin φ , z = z .
˙x = ˙ρ cos φ − ρ sin φ
˙
φ , ˙y = ˙ρ sin φ + ρ cos φ
˙
φ ,
˙
r
2
= ˙ρ
2
+ ρ
2
˙
φ
2
+ ˙z
2
,
L =
m
2
( ˙ρ
2
+ ρ
2
˙
φ
2
+ ˙z
2
) − U(ρ, z) .
∂L
∂ρ
= mρ
˙
φ
2
−
∂U(ρ, z)
∂ρ
,
∂L
∂ ˙ρ
= m ˙ρ .
ρ
m¨ρ − mρ
˙
φ
2
+
∂U(ρ, z)
∂ρ
= 0 .
z
m¨z +
∂U(ρ, z)
∂z
= 0 .
∂L
∂φ
= 0 ,
∂L
∂
˙
φ
= mρ
2
˙
φ ,
d
dt
(ρ
2
˙
φ) = 0 .
Ïðèìåð 1. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ò.å. ïîëå, êîòîðîå íå ìåíÿåòñÿ
ïðè ïîâîðîòàõ íà ïðîèçâîëüíûé óãîë âîêðóã íåêîòîðîé îñè. Òàêîâî, íàïðèìåð, ïîëå
ïðÿìîãî çàðÿæåííîãî ïðîâîäà.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå q öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü öè-
ëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ρ, φ, z), íàïðàâèâ îñü z ïî îñè ñèììåòðèè ïîëÿ. Òîãäà ïîëå
íå áóäåò çàâèñåòü îò óãëîâîé êîîðäèíàòû φ. Ïåðåõîä îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê öè-
ëèíäðè÷åñêèì çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè

                          x = ρ cos φ ,    y = ρ sin φ ,         z = z.             (17)

Äèôôåðåíöèðóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì

                  ẋ = ρ̇ cos φ − ρ sin φ φ̇ ,       ẏ = ρ̇ sin φ + ρ cos φ φ̇ ,

à âîçâîäÿ èõ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ñêîðîñòè ìàòå-
ðèàëüíîé òî÷êè â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

                                  ṙ 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 + ż 2 ,                      (18)

è çàòåì åå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà â àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå
                                m 2
                          L=      (ρ̇ + ρ2 φ̇2 + ż 2 ) − U (ρ, z) .                (19)
                                2
Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà â ýòèõ êîîðäèíàòàõ. Ìû èìååì

                        ∂L           ∂U (ρ, z)               ∂L
                           = mρφ̇2 −           ,                  = mρ̇ .
                        ∂ρ             ∂ρ                    ∂ ρ̇
Ïîýòîìó óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïî ïåðåìåííîé ρ èìååò âèä

                                                  ∂U (ρ, z)
                              mρ̈ − mρφ̇2 +                 = 0.
                                                    ∂ρ
Ïî ïåðåìåííîé z óðàâíåíèå Ëàãðàíæà îñòàåòñÿ òåì æå, ÷òî è â äåêàðòîâûõ êîîðäèíà-
òàõ:
                                           ∂U (ρ, z)
                                   mz̈ +             = 0.
                                             ∂z
Íàêîíåö,

                                ∂L               ∂L
                                   = 0,               = mρ2 φ̇ ,
                                ∂φ               ∂ φ̇
òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà åñòü ïðîñòî

                                       d 2
                                          (ρ φ̇) = 0 .                              (20)
                                       dt




                                                 9

Страницы