Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
X
i=1
m
i
s
X
α=1
½
d
dt
µ
˙
r
i
,
∂r
i
∂q
α
−
µ
˙
r
i
,
d
dt
∂r
i
∂q
α
¶¾
δq
α
=
N
X
i=1
m
i
s
X
α=1
½
d
dt
µ
˙
r
i
,
∂
˙
r
i
∂ ˙q
α
−
µ
˙
r
i
,
∂
˙
r
i
∂q
α
¶¾
δq
α
=
N
X
i=1
m
i
s
X
α=1
½
1
2
d
dt
∂
˙
r
2
i
∂ ˙q
α
−
1
2
∂
˙
r
2
i
∂q
α
¾
δq
α
=
s
X
α=1
(
d
dt
∂
∂ ˙q
α
N
X
i=1
m
i
˙
r
2
i
2
−
∂
∂q
α
N
X
i=1
m
i
˙
r
2
i
2
)
δq
α
=
s
X
α=1
½
d
dt
∂T
∂ ˙q
α
−
∂T
∂q
α
¾
δq
α
,
T =
N
X
i=1
m
i
˙
r
2
i
2
s
X
α=1
½
d
dt
∂T
∂ ˙q
α
−
∂(T − U)
∂q
α
¾
δq
α
= 0 .
s
X
α=1
½
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
−
∂L
∂q
α
¾
δq
α
= 0 ,
L = T − U
L(q, ˙q, t) = T(
˙
r(q, ˙q)) −U(r(q), t) .
δq
α
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
−
∂L
∂q
α
= 0 , α = 1, ..., s.
Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (13) è (14) ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) òåïåðü ìîæåò áûòü
ïðåîáðàçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì
                    XN     X s ½       µ               ¶ µ                    ¶¾
                                    d          ∂ri                   d ∂ri
                        mi               ṙi ,              − ṙi ,                δqα
                    i=1    α=1
                                   dt          ∂q   α                dt ∂q  α

                       XN      Xs ½       µ                 ¶ µ               ¶¾
                                       d             ∂ ṙi              ∂ ṙi
                    =      mi                 ṙi ,            − ṙi ,             δqα
                       i=1     α=1
                                       dt           ∂  q̇ α             ∂q α
                        N
                       X X      s ½                                ¾
                                       1 d ∂ ṙi2 1 ∂ ṙi2
                    =      mi                         −              δqα
                       i=1     α=1
                                       2 dt  ∂  q̇ α        2 ∂q α
                        s
                           (            N                          N
                                                                                )
                       X d ∂ X               mi ṙi  2
                                                               ∂   X   mi ṙi 2
                    =                                   −                         δqα
                       α=1
                             dt ∂ q̇α i=1 2                   ∂qα i=1 2
                       Xs ½                       ¾
                              d ∂T        ∂T
                    =                  −              δqα ,
                       α=1
                             dt ∂ q̇ α    ∂q   α

ãäå
                                            N
                                            X mi ṙ 2   i
                                      T =
                                             i=1
                                                    2
åñòü ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû. Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, à òàêæå óðàâ-
íåíèå (9), ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèå (7) â âèäå
                        X s ½                      ¾
                              d ∂T       ∂(T − U )
                                       −             δqα = 0 .
                         α=1
                              dt ∂ q̇α      ∂qα

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé, ïîñëåäíåå
óðàâíåíèå ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü â âèäå
                         X s ½              ¾
                               d ∂L      ∂L
                                       −      δqα = 0 ,                      (15)
                          α=1
                               dt ∂ q̇α ∂qα

ãäå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = T − U ïðåäïîëàãàåòñÿ âûðàæåííîé ÷åðåç îáîáùåííûå
êîîðäèíàòû è îáîáùåííûå ñêîðîñòè ñèñòåìû (à òàêæå âðåìÿ), à èìåííî,
                          L(q, q̇, t) = T (ṙ(q, q̇)) − U (r(q), t) .
 ñèëó íåçàâèñèìîñòè âàðèàöèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (15)
áóäåò ðàâíà íóëþ, òîëüêî åñëè êîýôôèöèåíò ïðè êàæäîé èç δqα îáðàùàåòñÿ â íóëü
íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ:
                         d ∂L      ∂L
                                 −    = 0,              α = 1, ..., s.            (16)
                         dt ∂ q̇α ∂qα
Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà íà ñèñòåìó íàëîæåíû èäåàëüíûå ãîëîíîìíûå
ñâÿçè, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå Ëàãðàíæà (16). Âèä ýòèõ
óðàâíåíèé íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû, ÷òî, â
÷àñòíîñòè, è äîêàçûâàåò èõ êîâàðèàíòíîñòü. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò
îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â ñëó÷àå ñâÿçåé, çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè.

                                             8

Страницы