Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

q
α
, α = 1, ..., s
q
α
, α = 1, ..., s.
δr
i
, i = 1, ..., N
f
k
(r
1
, ..., r
N
) = 0 , f
k
(r
1
+ δr
1
, ..., r
N
+ δr
N
) = 0 , k = 1, ..., n.
(R
i
, δr
i
) = 0 , i = 1, ..., N ,
(a, b) a b .
N
X
i=1
m
i
µ
d
2
r
i
dt
2
, δr
i
= −
N
X
i=1
µ
∂U
∂r
i
, δr
i
.
α,
δr
i
=
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
δq
α
.
δr
i
, δq
α
N
X
i=1
µ
∂U
∂r
i
, δr
i
=
N
X
i=1
Ã
∂U
∂r
i
,
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
δq
α
!
=
s
X
α=1
δq
α
N
X
i=1
µ
∂U
∂r
i
,
∂r
i
∂q
α
=
s
X
α=1
δq
α
∂U(r(q), t)
∂q
α
.
N
X
i=1
m
i
µ
d
2
r
i
dt
2
, δr
i
=
N
X
i=1
m
i
Ã
d
2
r
i
dt
2
,
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
δq
α
!
=
N
X
i=1
m
i
s
X
α=1
½
d
dt
µ
˙
r
i
,
∂r
i
∂q
α
−
µ
˙
r
i
,
d
dt
∂r
i
∂q
α
¶¾
δq
α
.
Íàáîð íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå ñèñòåìû â ïðî-
ñòðàíñòâå, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû, à ÷èñëî ýòèõ ïåðåìåííûõ
 ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå qα , α = 1, ..., s ÿâëÿ-
þòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé.
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ñâÿçè ÿâëÿþòñÿ èäåàëüíûìè, ò.å. òðåíèå â
ñèñòåìå îòñóòñòâóåò, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó èìåþò âèä (3) ïî êàæäîé èç
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò qα , α = 1, ..., s.
   Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì δri , i = 1, ..., N ïðîèçâîëüíîå ìàëîå èçìåíåíèå (âàðèàöèþ) êî-
îðäèíàò ÷àñòèö ñèñòåìû, ñîãëàñîâàííîå ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçè. Ñîãëàñîâàííîñòü ñ óðàâ-
íåíèÿìè ñâÿçè îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ

           fk (r1 , ..., rN ) = 0 ,     fk (r1 + δr1 , ..., rN + δrN ) = 0 ,                  k = 1, ..., n.

Ïåðåìåùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì, íàçûâàþò âèðòóàëüíûìè (ò.å. âîç-
ìîæíûìè, äîïóñòèìûìè). Ïîñêîëüêó òðåíèå îòñóòñòâóåò, ñèëà ðåàêöèè ñâÿçåé, äåé-
ñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, îðòîãîíàëüíà âèðòóàëüíîìó ïåðåìåùåíèþ:

                                       (Ri , δri ) = 0 ,         i = 1, ..., N ,

ãäå ñèìâîëîì (a, b) îáîçíà÷åíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b . Ñêëàäûâàÿ ýòè
óðàâíåíèÿ è èñïîëüçóÿ (4), ïîëó÷èì
                           N
                           X           µ                 ¶        N µ
                                                                  X                   ¶
                                           d2 ri                      ∂U
                                  mi             , δri       =−               , δri       .                     (7)
                            i=1
                                           dt2                    i=1
                                                                        ∂ri

Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó, â êîòîðîì ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ íå ïî
÷àñòèöàì ñèñòåìû, à ïî èíäåêñó α, íóìåðóþùåìó íåçàâèñèìûå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû
ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî ïðîâàðüèðóåì óðàâíåíèÿ (6)
                                                    Xs
                                                        ∂ri
                                              δri =         δqα .                                               (8)
                                                    α=1
                                                        ∂qα

 îòëè÷èå îò δri , âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò δqα ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè äðóã îò
äðóãà. Òîãäà ñîãëàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ìîæíî íàïèñàòü
                        N µ           ¶ X    N
                                                Ã         s
                                                                     !
                      X      ∂U                     ∂U X ∂ri
                                 , δri =               ,         δqα
                       i=1
                             ∂ri            i=1
                                                    ∂ri α=1 ∂qα
                         X s     X N µ              ¶ X   s
                                       ∂U ∂ri                    ∂U (r(q), t)
                      =      δqα             ,        =      δqα              . (9)
                         α=1      i=1
                                       ∂r i    ∂q α      α=1
                                                                     ∂q α


Äàëåå, ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                     N     µ 2            ¶ X      N
                                                         Ã         s
                                                                               !
                   X          d ri                         d2 ri X ∂ri
                        mi        2
                                    , δri =           mi      2
                                                                ,          δqα
                    i=1
                              dt                  i=1
                                                           dt     α=1
                                                                      ∂q α
                        N
                       X X d    s   ½     µ           ¶   µ            ¶¾
                                                  ∂ri            d ∂ri
                   =       mi               ṙi ,       − ṙi ,             δqα .                              (10)
                       i=1    α=1
                                       dt         ∂qα           dt ∂qα

                                                             6

Страницы