Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F
F
U(r, t).
F = −
∂U
∂r
.
∂U/∂r = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z).
m
d
2
r
dt
2
=
d
dt
∂T
∂
˙
r
,
T
T (
˙
r) =
m
˙
r
2
2
,
x
d
dt
∂T
∂ ˙x
=
m
2
d
dt
∂
∂ ˙x
( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
) =
m
2
d
dt
∂
∂ ˙x
˙x
2
= m
d ˙x
dt
= m
d
2
x
dt
2
.
L(r,
˙
r, t) = T (
˙
r)−U(r, t). L
(x, y, z), ( ˙x, ˙y, ˙z),
L(r,
˙
r, t)
d
dt
∂L
∂
˙
r
−
∂L
∂r
= 0 ,
∂T/∂r = 0 , ∂U/∂
˙
r = 0
  Ÿ2. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè

   Íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ äàëåêî íå ñàìûì
óäîáíûì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ìåõàíèêè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èñïîëü-
çîâàíèå äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò ðàäèóñ-âåêòîðà äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëî-
æåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì. Íàïðèìåð, åñëè ïîëå ñèëû
F èìååò òó èëè èíóþ ñèììåòðèþ, òî öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ òàêîé âûáîð êîîðäè-
íàò, ïðè êîòîðîì F çàâèñèò íå îò âñåõ, à òîëüêî îò ÷àñòè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ
ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýôôåêòèâíî ïðîèçâîäèòü ïåðåõîä îò
îäíîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ ê äðóãîìó, óäîáíî ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèÿ
Íüþòîíà ê òàê íàçûâàåìîìó ëàãðàíæåâó âèäó.
   Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé äâèæåíèÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïîòåíöèàëü-
íîì ïîëå U (r, t). Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî â òàêîì ïîëå, èìååò âèä
                                                   ∂U
                                           F =−       .
                                                   ∂r
Çäåñü è â äàëüíåéøåì ïîä ïðîèçâîäíîé ïî íåêîòîðîìó âåêòîðó ïîíèìàåòñÿ âåêòîð,
êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû ïðîèçâîäíûì ïî ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïîíåíòàì äàííîãî
âåêòîðà, ò.å., ∂U/∂r = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z). Ïðåîáðàçîâàíèå ê ëàãðàíæåâó âèäó ñî-
ñòîèò âî ââåäåíèè íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè, òàêîé, ÷òî îáå ÷àñòè âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ Íüþòîíà (1) èìåþò âèä ïðîèçâîä-
íûõ îò ýòîé ôóíêöèè, àíàëîãè÷íî òîìó êàê âåêòîð ñèëû âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîä-
íûå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèé
Íüþòîíà ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì
                                           d2 r   d ∂T
                                       m      2
                                                =         ,
                                           dt     dt ∂ ṙ
ãäå T åñòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè,
                                         mṙ 2
                                        T (ṙ) =
                                               ,
                                           2
à òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå.
Äåéñòâèòåëüíî, ýòî òîæäåñòâî íåòðóäíî ïðîâåðèòü, çàïèñûâàÿ åãî ïîêîìïîíåíòíî. Ìû
èìååì, íàïðèìåð, äëÿ x-êîìïîíåíòû
              d ∂T      md ∂ 2                          md ∂ 2           dẋ   d2 x
                      =           (ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) =           ẋ = m     =m 2 .
              dt ∂ ẋ   2 dt ∂ ẋ                       2 dt ∂ ẋ        dt    dt
Ââåäåì òåïåðü ôóíêöèþ L(r, ṙ, t) = T (ṙ)−U (r, t). Ïî îïðåäåëåíèþ, L ÿâëÿåòñÿ ôóíêöè-
åé òðåõ êîîðäèíàò (x, y, z), òðåõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè (ẋ, ẏ, ż), à òàêæå âðåìåíè, ðàññìàò-
ðèâàåìûõ êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå (ò.å., ëþáàÿ èç ýòèõ ñåìè ïåðåìåííûõ ñ÷èòàåòñÿ
íåçàâèñèìîé îò îñòàëüíûõ øåñòè). Ôóíêöèÿ L(r, ṙ, t) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà.
Ñ åå ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Íüþòîíà ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                     d ∂L ∂L
                                             −    = 0,                                   (2)
                                     dt ∂ ṙ   ∂r
ïîñêîëüêó ∂T /∂r = 0 , ∂U/∂ ṙ = 0 â ñèëó íåçàâèñèìîñòè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé. Çàïè-
ñàííûå â òàêîì âèäå, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà.

                                               4

Страницы