ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
r = (x, y, z).
r
r(t)
m
d
2
r
dt
2
= F ,
m F
v = dr/dt ≡
˙
r.
r.
x(t), y(t), z(t),
2 × 3 = 6
I. ÔÎÐÌÀËÈÇÌ ËÀÃÐÀÍÆÀ
Îñíîâíàÿ çàäà÷à ìåõàíèêè. Óðàâíåíèÿ Íüþòîíà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèÿ
Ëàãðàíæà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Ñâÿçè. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû è îáîáùåííûå
êîîðäèíàòû ñèñòåìû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðè íàëè÷èè èäåàëüíûõ ãîëîíîìíûõ ñâÿ-
çåé. Âêëþ÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë è ñèë òðåíèÿ.
1. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ìåõàíèêè
Ïðåäìåòîì ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òåë ïîä äåéñòâèåì
ïðèëîæåííûõ ê íèì ñèë. Ëþáîå òåëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü òåë ìåíü-
øåãî ðàçìåðà, ïîýòîìó ôóíäàìåíòàëüíûì äëÿ âñåé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàòå-
ðèàëüíîé òî÷êè. Åñëè â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è ðàçìåðàìè òåëà è åãî îðèåíòàöèåé â
ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî òàêîå òåëî íàçûâàþò ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Íàïðè-
ìåð, ïðè èçó÷åíèè îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà èõ ðàçìåðàìè ìîæíî
ñ õîðîøåé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðåíåáðå÷ü è ðàññìàòðèâàòü èõ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷-
êè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õàðàêòåð ïðåöåññèè îñè âðàùåíèÿ ïëàíåòû ïîä âëèÿíèåì äðóãèõ
ïëàíåò è Ñîëíöà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò åå ñòðîåíèÿ.
Äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìîæíî èñïîëüçî-
âàòü, íàïðèìåð, äåêàðòîâû êîìïîíåíòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà r = (x, y, z). Ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå ìåíÿåòñÿ, òàê ÷òî r ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìå-
íè. Çàâèñèìîñòü r(t) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Îïðåäåëåíèå
ýòîé çàâèñèìîñòè (äëÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñèñòåìû) ñîñòàâëÿåò îñíîâíóþ çà-
äà÷ó òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò ìàòåðèàëü-
íîé òî÷êè îò âðåìåíè, íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Íüþòîíà
d2 r
m =F, (1)
dt2
ãäå m åñòü ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, à F äåéñòâóþùàÿ íà íåå ñèëà. Ïîñëåäíÿÿ
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òåëà, à òàêæå îò åãî ñêîðîñòè v = dr/dt ≡ ṙ. Ñëåäîâàòåëüíî,
óðàâíåíèÿ (1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó òðåõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ
òðåõ êîìïîíåíò âåêòîðà r. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíàÿ çàäà÷à òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè
ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè çàêîí äâè-
æåíèÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèé Íüþòîíà, íåîáõîäèìî åùå çàäàòü ñîâîêóïíîñòü äîïîë-
íèòåëüíûõ óñëîâèé. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ Íüþòîíà ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé x(t), y(t), z(t), òî äëÿ
îäíîçíà÷íîãî èõ îïðåäåëåíèÿ òðåáóåòñÿ 2 × 3 = 6 äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, êîòîðûìè
îáû÷íî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè. Ñîâîêóïíîñòü äàííûõ î ñèñòåìå, çàäàíèå êîòîðûõ â íåêîòîðûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ
åå ïîñëåäóþùåé ýâîëþöèè, íàçûâàþò ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì åå ðàäèóñ-âåêòîðà
è âåêòîðà åå ñêîðîñòè.
3
