Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(x, y, z)
(q
1
, q
2
, q
3
),
d
dt
∂L
∂ ˙q
α
−
∂L
∂q
α
= 0 , α = 1, 2, 3,
L q
α
˙q
α
,
N m
i
r
i
, i = 1, ..., N,
R,
m
i
d
2
r
i
dt
2
= −
∂U
∂r
i
+ R
i
, i = 1, ..., N .
n r
i
, i = 1, ..., N :
f
k
(r
1
, ..., r
N
) = 0 , k = 1, ..., n.
n 3N r
i
(3N −n) ≡ s.
s s
q
α
, α = 1, ..., s.
q. N r
i
q :
r
i
= r
i
(q) , i = 1, ..., N .
   Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò îäèí è òîò æå âèä íåçàâèñèìî îò
òîãî, êàêèå ïàðàìåòðû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ çàäàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ìàòå-
ðèàëüíîé òî÷êè. À èìåííî, åñëè âìåñòî äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò (x, y, z) âûáðàòü äðóãóþ
òðîéêó êîîðäèíàò (q1 , q2 , q3 ), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ áóäóò èìåòü
âèä
                             d ∂L      ∂L
                                     −    = 0,          α = 1, 2, 3,                (3)
                             dt ∂ q̇α ∂qα
ïðè÷åì L ïðåäïîëàãàåòñÿ âûðàæåííîé ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû qα è ñîîòâåòñòâóþùèå
èì ñêîðîñòè q̇α , ñíîâà ðàññìàòðèâàåìûå êàê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Ýòî çàìå÷à-
òåëüíîå ñâîéñòâî óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, íàçûâàåìîå êîâàðèàíòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî
çàìåíû êîîðäèíàò, áóäåò äîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå.


   Ÿ3. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè íàëè÷èè ñâÿ-
çåé

   Ìû äîêàæåì êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ñðàçó äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç
N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìåþùèõ ìàññû mi è ðàäèóñ-âåêòîðû ri , i = 1, ..., N, äîïóñêàÿ
ïðè ýòîì, ÷òî íà ýòó ñèñòåìó åùå ìîãóò áûòü íàëîæåíû òàê íàçûâàåìûå èäåàëüíûå
ãîëîíîìíûå ñâÿçè. Âîîáùå, ïîä ñâÿçÿìè ïîíèìàþò ëþáûå îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûå
äâèæåíèÿ ñèñòåìû. Íàïðèìåð, ñâÿçè ìîãóò ñîñòîÿòü â òîì, ÷òî âçàèìíûå ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó íåêîòîðûìè ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè äîëæíû îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûìè ïðè äâè-
æåíèè ñèñòåìû, èëè æå äâèæåíèå ÷àñòèö ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî íåïðîíèöàåìûìè
ñòåíêàìè. Äàëåå, ñâÿçè ìîãóò òàêæå âûðàæàòüñÿ â âèäå îïðåäåëåííûõ óñëîâèé íà ñêî-
ðîñòè òî÷åê, è ò.ï.  òîì âàæíîì è ÷àñòî âñòðå÷àþùåìñÿ íà ïðàêòèêå ñëó÷àå, êîãäà
ñâÿçü ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòå-
ìû, îíà íàçûâàåòñÿ ãîëîíîìíîé. Ïðèìåðîì ãîëîíîìíîé ñâÿçè ìîæåò ñëóæèòü æåñòêèé
íåâåñîìûé ñòåðæåíü, ñâÿçûâàþùèé äâå ÷àñòèöû.
    ñëó÷àå íàëè÷èÿ ñâÿçåé ïîìèìî ïîòåíöèàëüíûõ ñèë íà òî÷êè ñèñòåìû áóäóò äåé-
ñòâîâàòü òàêæå ñèëû ðåàêöèè ñâÿçåé. Îáîçíà÷àÿ ýòè ñèëû ÷åðåç R, çàïèøåì óðàâíåíèÿ
Íüþòîíà äëÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñîñòàâëÿþùåé ñèñòåìó

                             d2 ri    ∂U
                        mi      2
                                   =−     + Ri ,          i = 1, ..., N .           (4)
                             dt       ∂ri
Ïóñòü èìååòñÿ n íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ñâÿçè ìåæäó ri , i = 1, ..., N :

                           fk (r1 , ..., rN ) = 0 ,    k = 1, ..., n.               (5)

Ìû ñ÷èòàåì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ýòè ñîîòíîøåíèÿ íå ñîäåðæàò âðåìåíè ÿâíî. Óðàâíåíèÿ
(5) îçíà÷àþò, ÷òî n êîìïîíåíò èç ïîëíîãî íàáîðà 3N äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ri
ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç îñòàëüíûå (3N − n) ≡ s.  ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò îêàçàòüñÿ
óäîáíûì âûðàçèòü ýòè s êîìïîíåíò êàê ôóíêöèè íåêîòîðîãî äðóãîãî íàáîðà s íåçà-
âèñèìûõ ïàðàìåòðîâ qα , α = 1, ..., s. Äëÿ êðàòêîñòè, ýòîò íàáîð ïàðàìåòðîâ ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü ïðîñòî q. Òàêèì îáðàçîì, âñå N ðàäèóñ-âåêòîðîâ ri îêàæóòñÿ ôóíêöèÿìè
q:

                               ri = ri (q) ,       i = 1, ..., N .                  (6)

                                               5

Страницы