Курс теоретической механики для химиков. Казаков К.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

˙q
α
, α = 1, ..., s,
q, ˙q
r
i
(t),
s s q
α
(t),
2s s
s
q, ˙q
˙
r
i
=
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
˙q
α
, i = 1, ..., N .
˙q
β
:
∂
˙
r
i
∂ ˙q
β
=
s
X
α=1
∂r
i
∂q
α
∂ ˙q
α
∂ ˙q
β
, β = 1, ..., s.
˙q
α
∂ ˙q
α
/∂ ˙q
β
α = β,
∂ ˙q
α
∂ ˙q
β
= δ
αβ
,
δ
αβ
δ
αβ
=
½
1, α = β ,
0, α 6= β .
∂
˙
r
i
∂ ˙q
β
=
∂r
i
∂q
β
.
∂r
i
/∂q
β
:
d
dt
∂r
i
∂q
β
=
s
X
α=1
∂
∂q
α
µ
∂r
i
∂q
β
˙q
α
=
∂
∂q
β
(
s
X
α=1
µ
∂r
i
∂q
α
˙q
α
)
.
˙
r
i
,
d
dt
∂r
i
∂q
β
=
∂
˙
r
i
∂q
β
.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10) â âèäå ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèè
Ëàãðàíæà, êàê è â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå îäíîé ÷àñòèöû, ìû ðàñøèðèì íàáîð
íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, âêëþ÷èâ â íåãî âåëè÷èíû q̇α , α = 1, ..., s, íàçûâàåìûå îáîá-
ùåííûìè ñêîðîñòÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, ëþáàÿ èç íàáîðà ïåðåìåííûõ
q, q̇ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé îò îñòàëüíûõ. Çàìåòèì ïîïóòíî, ÷òî ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ
Íüþòîíà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà
äëÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ri (t), òî ïîñëå ïåðåõîäà ê îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì ìû ïîëó-
÷èì ñèñòåìó s íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿ s íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé qα (t), êîòîðûå òàêæå
áóäóò äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé
ñèñòåìû òðåáóåòñÿ çàäàíèå 2s äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé  çíà÷åíèé s îáîáùåííûõ êî-
îðäèíàò è s îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè. Äðóãèìè ñëîâàìè,
ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí
q, q̇ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè.
     Âûðàçèì äåêàðòîâû ñêîðîñòè ÷àñòèö ÷åðåç îáîáùåííûå ñêîðîñòè. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì
ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèé (6)

                                 Xs
                                     ∂ri
                           ṙi =         q̇α ,      i = 1, ..., N .               (11)
                                 α=1
                                     ∂qα

Èìåÿ â âèäó äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèÿ (11) ïî q̇β :
                                   s
                                  X ∂ri ∂ q̇α
                          ∂ ṙi
                                =               ,     β = 1, ..., s.              (12)
                          ∂ q̇β   α=1
                                      ∂qα ∂ q̇β

 ñèëó íåçàâèñèìîñòè ñêîðîñòåé q̇α ïðîèçâîäíàÿ ∂ q̇α /∂ q̇β ðàâíà åäèíèöå ïðè α = β, è
íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å.,
                                    ∂ q̇α
                                          = δαβ ,
                                    ∂ q̇β
ãäå δαβ îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ ìàòðèöó
                                            ½
                                                1, α = β ,
                                   δαβ =
                                                0, α =
                                                     6 β.

Ïîýòîìó ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (12) ñâîäèòñÿ ê îäíîìó ÷ëåíó:

                                        ∂ ṙi   ∂ri
                                              =     .                             (13)
                                        ∂ q̇β   ∂qβ

Äàëåå, ïðåîáðàçóåì åùå ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ∂ri /∂qβ :
                                µ     ¶          ( s µ       )
                d ∂ri    Xs
                              ∂   ∂ri          ∂  X ∂ri ¶
                       =                q̇α =             q̇α .
                dt ∂qβ   α=1
                             ∂qα ∂qβ          ∂qβ α=1 ∂qα

Âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ṙi , òàê ÷òî

                                       d ∂ri    ∂ ṙi
                                              =       .                           (14)
                                       dt ∂qβ   ∂qβ

                                              7

Страницы