Гидравлика. Кордон М.Я - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=ρ+
∂
∂
−
=ρ+
∂
∂
−
=ρ+
∂
∂
−
.
;
;
0
0
0
Z
z
p
Y
y
p
X
x
p
(2.19)
Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к
несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.
Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.
2.6. Основное дифференциальное уравнение гидростатики
Умножая первое
уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz,
после суммирования получаем:
()
0=++ρ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
− ZdzYdyXdxdz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
, (2.20)
где
dx, dy, dz
–
дифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.
Так как гидростатическое давление
р является функцией только
координат, т.е. независимых переменных
x, y, z, то первый трехчлен
уравнения (2.20) как сумма всех трех частных дифференциалов
представляет собой полный дифференциал .
Следовательно,
(
)
ZdzYdyXdxdp
+
+
ρ
= . (2.21)
Это уравнение является основным дифференциальным уравнением
равновесия жидкости.
Так как
dp есть полный дифференциал, то для однородной жидкости
(при ρ = const) и трехчлен (
Xdx + Ydy + Zdz) – тоже полный дифференциал
некоторой функции
U(x,y,z).
Следовательно,
(
)
zyxdUZdzYdyXdx ,,
=
+
+ . (2.22)
Частные производные функции
U(x, y, z) взятые по x, y, z равны
проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:
(
)
()
()
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
.
,,
;
,,
;
,,
z
zyxU
Z
y
zyxU
Y
x
zyxU
X
(2.23) 
                             ∂p             ⎫
                           −    + ρX = 0;⎪
                             ∂x
                             ∂p             ⎪⎪
                           −    + ρY = 0;⎬                       (2.19)
                             ∂y              ⎪
                             ∂p
                           −    + ρZ = 0 . ⎪⎪
                             ∂z              ⎭
   Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к
несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.
   Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.

     2.6. Основное дифференциальное уравнение гидростатики
   Умножая первое уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz,
после суммирования получаем:
            ⎛ ∂p    ∂p      ∂p ⎞
         − ⎜⎜ dx +     dy +   dz ⎟ + ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) = 0 ,     (2.20)
            ⎝ ∂x    ∂y      ∂z ⎟⎠
     где dx, dy, dz   дифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.
                  –
   Так как гидростатическое давление р является функцией только
координат, т.е. независимых переменных x, y, z, то первый трехчлен
уравнения (2.20) как сумма всех трех частных дифференциалов
представляет собой полный дифференциал .
   Следовательно,
                       dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz ) .                  (2.21)
   Это уравнение является основным дифференциальным уравнением
равновесия жидкости.
   Так как dp есть полный дифференциал, то для однородной жидкости
(при ρ = const) и трехчлен (Xdx + Ydy + Zdz) – тоже полный дифференциал
некоторой функции U(x,y,z).
   Следовательно,
                    Xdx + Ydy + Zdz = dU (x, y, z) .               (2.22)
   Частные производные функции U(x, y, z) взятые по x, y, z равны
проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:
                              ∂U (x, y, z) ⎫
                          X =             ;⎪
                                  ∂x
                              ∂U (x, y, z) ⎪⎪
                          Y =             ;⎬                       (2.23)
                                  ∂y        ⎪
                              ∂U (x, y, z) ⎪
                          Z=              .⎪
                                  ∂z        ⎭
                                      19

Страницы