Гидравлика. Кордон М.Я - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
то проекции скорости будут сложными функциями времени:
(
)
(
)
(
)
[
]
() () ()
[]
() () ()
[]
.,;;
;,;;
;,;;
ttztytxuu
ttztytxuu
ttztytxuu
zz
yy
xx
=
=
=
Используя правило дифференцирования сложных функций, для
проекций полного ускорения получим:
.
;
;
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
v
dt
du
a
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du
a
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du
a
zzzzz
z
yyyyy
y
xxxxx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
(3.6)
Учитывая, что для движущейся жидкости
zyx
u
dt
dz
u
dt
dy
u
dt
dx
=== ;; ,
преобразуем функции (3.6) к виду:
,
;
;
z
z
y
z
x
zz
z
z
y
y
y
x
yy
y
z
x
y
x
x
xx
x
u
z
u
u
y
u
u
x
u
t
u
a
u
z
u
u
y
u
u
x
u
t
u
a
u
z
u
u
y
u
u
x
u
t
u
a
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(3.7)
где
dt
du
x
;
dt
du
y
;
dt
du
z
–
индивидуальные или субстанциональные
производные;
t
u
x
∂
∂
;
t
u
y
∂
∂
;
t
u
z
∂
∂
–
локальные производные, выражающие из-
менение во времени вектора u в фиксированной
точке пространства;
z
x
y
x
x
x
u
z
u
u
y
u
u
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
–
конвективная производная вектора
u.
Эта величина выражает изменение скорости в
пространстве в данный момент времени. При
установившемся движении локальные
ускорения равны нулю.
3.8. Уравнение Эйлера
По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил,
действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение,
с которым движется это тело: 
то проекции скорости будут сложными функциями времени:
                         ux = ux [x (t ); y (t ); z(t ), t ] ;
                         uy = uy [x (t ); y (t ); z(t ), t ] ;
                         uz = uz [x (t ); y (t ); z(t ), t ] .
   Используя правило дифференцирования сложных функций, для
проекций полного ускорения получим:
                  du x ∂ux ∂ux           dx ∂ux dy ∂ux dz
             ax =     =    +                +       +        ;
                   dt   ∂t   ∂x          dt   ∂y dt   ∂z dt
                  du y ∂uy ∂uy           dx ∂uy dy ∂uy dz
             ay =     =    +                +       +        ;            (3.6)
                   dt   ∂t   ∂x          dt   ∂y dt   ∂z dt
                  du z ∂v z ∂uz          dx ∂uz dy ∂uz dz
             az =     =    +                +       +       .
                   dt   ∂t   ∂x          dt   ∂y dt   ∂z dt
   Учитывая, что для движущейся жидкости
                          dx           dy           dz
                              = ux ;       = uy ;       = uz ,
                          dt           dt           dt
преобразуем функции (3.6) к виду:
                           ∂u     ∂u         ∂u        ∂u
                   ax = x + x ux + x uy + x uz;
                            ∂t     ∂x         ∂y        ∂z
                           ∂uy ∂uy           ∂uy       ∂uy
                   ay =         +      ux +       uy +      uz;             (3.7)
                            ∂t     ∂x        ∂y         ∂z
                           ∂u     ∂u        ∂u         ∂u
                   az = z + z ux + z uy + z uz,
                            ∂t     ∂x        ∂y         ∂z
         du x du y du z
   где        ;        ;        – индивидуальные           или    субстанциональные
          dt      dt       dt       производные;
          ∂ux ∂uy ∂uz
                ;       ;       – локальные производные, выражающие из-
           ∂t      ∂t      ∂t       менение во времени вектора u в фиксированной
                                    точке пространства;
 ∂ux      ∂u          ∂u
     ux + x uy + x uz – конвективная производная вектора u.
  ∂x      ∂y           ∂z           Эта величина выражает изменение скорости в
                                    пространстве в данный момент времени. При
                                    установившемся           движении     локальные
                                    ускорения равны нулю.
                         3.8. Уравнение Эйлера
    По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил,
действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение,
с которым движется это тело:

                                             53

Страницы