Гидравлика. Кордон М.Я - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань
АВСD и
А′В′С′D′:
dydzpdPpdydzdP
′
=
=
21
;
,
где
р и р′ –
среднее гидростатическое давление для указанных граней:
dx
x
p
pp
∂
∂
+=
′
.
Тогда
dydzdx
x
p
pdydzpdP
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
′
=
2
. Сила dP
2
войдет в основное
уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на
боковые грани:
dxdydz
x
P
dydzdx
x
p
PpdydzdPdP
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=−
21
. (3.10)
Проекция объемной силы
dFx определяется выражением:
XdxdydzdFdFx
ρ
=
α
= cos , (3.11)
где
Х – проекция ускорения объемной силы;
ρ –
плотность жидкости;
dxdydz = dV – объем параллелепипеда.
Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеет
вид:
dxdydzXdxdydz
x
p
dFxdPdPdRx ρ+
∂
∂
−=+−=
21
. (3.12)
Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ=ρ+
∂
∂
−
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dxdydzdxdydzXdxdydz
x
p
x
z
x
y
x
x
x
.
После сокращения на
dxdydz
ρ
, т.е. отнеся уравнение к единице
массы, получим:
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
X
x
p
x
z
x
y
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
ρ
−
1
. (3.13)
Аналогично составив выражения для сил
dRy и dRz и для dma
y
и dma
z
,
получим три уравнения Эйлера:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=+
∂
∂
ρ
−
=+
∂
∂
ρ
−
=+
∂
∂
ρ
−
.
1
;
1
;
1
dt
du
Z
z
p
dt
du
Y
y
p
dt
du
X
x
p
z
y
x
(3.14) 
    Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань АВСD и
А′В′С′D′:
                      dP1 = pdydz ; dP2 = p′dydz ,
  где р и р′ – среднее гидростатическое давление для указанных граней:
                                       ∂p
                             p′ = p +     dx .
                                       ∂x
                          ⎛     ∂p    ⎞
    Тогда dP2 = p′dydz = ⎜ p +     dx ⎟dydz . Сила dP2 войдет в основное
                          ⎝    ∂x     ⎠
уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на
боковые грани:
                               ⎛     ∂p    ⎞         ∂P
           dP1 − dP2 = pdydz − ⎜ P +    dx ⎟dydz = −    dxdydz .   (3.10)
                               ⎝     ∂x    ⎠         ∂x
     Проекция объемной силы dFx определяется выражением:
                      dFx = dF cosα = ρ Xdxdydz ,                  (3.11)
     где     Х – проекция ускорения объемной силы;
             ρ – плотность жидкости;
   dxdydz = dV – объем параллелепипеда.
   Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеет
вид:
                                        ∂p
            dRx = dP1 − dP2 + dFx = −      dxdydz + ρdxdydzX .     (3.12)
                                        ∂x
     Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:
     ∂p                              ⎛ ∂u    ∂u     ∂u     ∂u ⎞
 −      dxdydz + ρdxdydzX = ρdxdydz ⎜⎜ x + ux x + uy x + uz x ⎟⎟
     ∂x                              ⎝ ∂t    ∂x      ∂y     ∂z ⎠ .

   После сокращения на ρdxdydz , т.е. отнеся уравнение к единице
массы, получим:
               1 ∂p      ∂u      ∂u       ∂u      ∂u
             −      + X = x + ux x + u y x + u z x .           (3.13)
               ρ ∂x       ∂t     ∂x        ∂y      ∂z
   Аналогично составив выражения для сил dRy и dRz и для dmay и dmaz,
получим три уравнения Эйлера:
                            1 ∂p      du x ⎫
                          −      +X =      ;
                            ρ ∂x       dt ⎪
                            1 ∂p      du y ⎪⎪
                          −      +Y =     ;⎬                       (3.14)
                            ρ ∂y       dt ⎪
                            1 ∂p      du z ⎪
                          −      +Z=      .
                            ρ ∂z       dt ⎪⎭
                                      55

Страницы