Гидравлика. Кордон М.Я - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
Умножим первое уравнение на
dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy
и
dz являются проекциями элементарного перемещения.
Тогда, для первого уравнения будем иметь:
dx
z
u
udx
y
u
udx
x
u
udx
x
p
Xdx
x
z
x
y
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
1
. (3.16)
Учитывая, что
dt
dx
u
x
=
;
dt
dy
u
y
=
и
dt
dz
u
z
=
, преобразуем правую
часть уравнения (3.16) к виду:
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
u
dz
z
u
udy
y
u
udx
x
u
u
dz
z
u
dt
dx
dy
y
u
dt
dx
dx
x
u
u
dx
z
u
dt
dz
dx
y
u
dt
dy
dx
x
u
u
dx
z
u
udx
y
u
udx
x
u
u
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
x
x
z
x
y
x
x
где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции
скорости на ось
ox т.е.
x
xxx
dudz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
. (3.17)
С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде
2
1
2
x
xx
du
duudx
x
p
Xdx ==
∂
∂
ρ
−
. (3.17а)
Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:
;
2
1
2
y
du
dy
y
p
Ydy =
∂
∂
ρ
−
(3.17б)
.
2
1
2
z
du
dz
z
p
Zdz =
∂
∂
ρ
−
(3.17в)
Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых преоб-
разований получим: 
    Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy
и dz являются проекциями элементарного перемещения.
    Тогда, для первого уравнения будем иметь:
                  1 ∂p          ∂u           ∂u          ∂u
           Xdx −        dx = ux x dx + uy x dx + uz x dx .             (3.16)
                  ρ ∂x           ∂x          ∂y           ∂z
                           dx         dy          dz
    Учитывая, что ux =        ; uy =      и uz =     , преобразуем правую
                           dt         dt          dt
часть уравнения (3.16) к виду:
                       ∂u           ∂u          ∂u
                    ux x dx + uy x dx + uz x dx =
                       ∂x            ∂y          ∂z
                       ∂u        dy ∂ux       dz ∂ux
                  = ux x dx +            dx +         dx =
                        ∂x       dt ∂y        dt ∂z
                       ∂u        dx ∂ux       dx ∂ux
                  = ux x dx +            dy +         dz =
                        ∂x       dt ∂y        dt ∂z
                        ∂u           ∂u          ∂u
                   = ux x dx + ux x dy + ux x dz =
                         ∂x           ∂y          ∂z
                            ⎛ ∂u    ∂u      ∂u     ⎞
                      = ux ⎜⎜ x dx + x dy + x dz ⎟⎟,
                            ⎝ ∂x    ∂y       ∂z    ⎠
где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции
скорости на ось ox т.е.
                      ∂ux        ∂u     ∂u
                            dx + x dy + x dz = du x .         (3.17)
                       ∂x        ∂y      ∂z
    С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде
                             1 ∂p                du x2
                     Xdx −        dx = ux du x =       .              (3.17а)
                             ρ ∂x                 2
   Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:
                                1 ∂p      du y2
                          Ydy −      dy =       ;                     (3.17б)
                                ρ ∂y       2

                                 1 ∂p      du z2
                           Zdz −      dz =       .                    (3.17в)
                                 ρ ∂z       2
   Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых преоб-
разований получим:




                                       57

Страницы