Методические материалы для изучения алгоритмов реализации методов безусловной оптимизации непрерывных одномерных и многомерных унимодальных функций. Корнилов А.Г. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КНИТУ-КАИ им. Туполева | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18
F(x
3
) -1.54 -1.57
-1.58
-1.57 -1.54 -1.49
x
1
=0.5, x
2
=0.6, x
3
=1.3 →улучшить не удаётся.
4.Итак x
1
=0.5, x
2
=0.6, x
3
=1.3, min F(x
1
, x
2
, x
3
)= -1.58
Методы первого и второго порядка.
Данные методы обладают большим достоинством
состоящим в том, что не
требуется проводить трудоемкие и объемные вычисления. Недостатком является
требование задания целевой функции в аналитическом виде, унимодальности
целевой функции в заданном интервале изменения переменной,
дифференцируемости целевой функции..
Существует много видов данных методов, наиболее употребительными
рассмотрены ниже:
Метод средней точки.
(с использованием первой производной оптимизируемой функции.)
Алгоритм вычислений по методу средней точки следующий:
1.
Задать значение погрешности нахождения точки минимума функции E
зад
2. Взять пробную точку, равную х
2
ba
+
= ; вычислить F )(' x
3 . Осуществить проверку на окончание поиска.
Если
зад
ЕxF ≤)(', то поиск прекратить, полагая
xx =
*
, и завершить решение
задачи ,найдя минимум целевой функции в этой точке , иначе перейти к п.4.
3.
Сравнить )(' xF с нулем. Если )(' xF >0, то продолжить поиск в интервале
[]
xa, положив при этом xb = , иначе принять интервал
[
]
bx, и перейти к п.2.
Пример: Найти минимум унимодальной функции вида F
x
xx
2
)( +=
определенной в интервале [1,5].Погрешность определения местоположения
минимума E
зад
= 0,2
1.
E
зад
= 0.2
2.
3
2
51
=
+
=x ;
F’(x)=1-2/x
2
= 1-2/9 = 1-0.2 = 0.8
3.
зад
ЕxF >)('
, (0,8>0,2)
4. 0)('
>xF ]3,1[],[],[ =→ xaba
2
2
2
31
=
+
=x ; F’(x)=1-2/x
2
= 1-1/2 = 0.5 
                                                18


            F(x3)      -1.54      -1.57      -1.58    -1.57     -1.54    -1.49

           x1=0.5, x2=0.6, x3=1.3 →улучшить не удаётся.
4.Итак x1=0.5, x2=0.6, x3=1.3, min F(x1, x2, x3)= -1.58


                       Методы первого и второго порядка.

    Данные методы обладают большим достоинством состоящим в том, что не
требуется проводить трудоемкие и объемные вычисления. Недостатком является
требование задания целевой функции в аналитическом виде, унимодальности
целевой    функции    в   заданном    интервале  изменения    переменной,
дифференцируемости целевой функции..
Существует много видов данных методов, наиболее употребительными
рассмотрены ниже:


                                  Метод средней точки.
           (с использованием первой производной оптимизируемой функции.)
           Алгоритм вычислений по методу средней точки следующий:
   1.     Задать значение погрешности нахождения точки минимума функции E зад

                                              a+b
 2. Взять пробную точку, равную х =               ; вычислить F ' ( x)
                                               2
 3 . Осуществить проверку на окончание поиска.
   Если F ' ( x) ≤ Е зад , то поиск прекратить, полагая x * = x , и завершить решение
задачи ,найдя минимум целевой функции в этой точке , иначе перейти к п.4.
3. Сравнить F ' ( x) с нулем. Если F ' ( x) >0, то продолжить поиск в интервале
   [a, x] положив при этом b = x , иначе принять интервал [x, b] и перейти к п.2.
                                                                                      2
           Пример: Найти минимум унимодальной функции вида F ( x) = x +
                                                                                      x
определенной в интервале [1,5].Погрешность                определения    местоположения
минимума E зад= 0,2
1. E зад = 0.2
           1+ 5
2. x =          = 3;
            2
        F’(x)=1-2/x2 = 1-2/9 = 1-0.2 = 0.8
3. F ' ( x) > Е зад , (0,8>0,2)

4. F ' ( x) > 0 [a, b] → [a, x] = [1,3]
          1+ 3
2 x=           = 2 ; F’(x)=1-2/x2 = 1-1/2 = 0.5
           2

Страницы