Методические материалы для изучения алгоритмов реализации методов безусловной оптимизации непрерывных одномерных и многомерных унимодальных функций. Корнилов А.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КНИТУ-КАИ им. Туполева | Казань

Составители: 

Рубрика: 

19
3.
2.0)(' ≥xF [a,b]→[1,2]
2
5.1
2
21
=
+
=x ; f’(x)=1-0.89 = 0.11
3.
зад
ЕxF <)(' , (0,11<0,2)
5.1
2
21
x
*
=
+
=
; F(x
*
)=f(1.5)=2.83
Метод Ньютона
(с использованием второй производной оптимизируемой функции.)
Данный метод применяется, если функция F(x) имеет первую и вторую
производную, причем вторая производная функции в заданном диапазоне
больше 0.
Алгоритм вычислений по методу Ньютона следующий:
1.
Задать погрешность определения точки минимума E
зад
.
2.
В качестве первой пробуемой точки взять
2
0
ba
x
+
=
*
3.
Осуществить проверку на окончание решения задачи . Для этого вычислить
Ε
П
= F’(x
k
) , К=0,1,2… Если E
зад
.≥ Ε
П
то перейти к п.5, иначе к п.4.
4.
Определить новую пробную точку:
)(''
)('
1
k
k
kk
xF
xF
xx −=
+
к=0,1,2,…; перейти к
п.3.
5.
Принять последнюю пробную точку за точку минимума и вычислить
минимум целевой функции в этой точке
Пример: Определить минимум унимодальной функции вида F(x)=x
4
-8x
2
-9 в
интервале [2,3] Погрешность определения местоположения минимума E
зад
= 0,1.
1.
E
зад
= 0,1.
2.
5.2
2
32
2
ba
x
0
=
+
=
+
=
3.
F’(x)= 4x
3
-16x =22.5
Е
п
>Е
зад
(22.5>0,1)
4.
F"(x
0
)=12x2-16=59
12.2
59
5.22
xx
01
=−=
3. F’(x
1
)=4.08
Е
п
>Е
зад
(4.8>0,1)
*
Если начальная точка достаточна близка к х
*
,то процесс поиска может оказаться расходящимся.
Тогда целесообразно начальную точку взять по золотому сечению. 
                                                19


3. F ' ( x) ≥ 0.2 [a,b]→[1,2]

             1+ 2
2      x=         = 1.5 ; f’(x)=1-0.89 = 0.11
              2
3. F ' ( x) < Е зад , (0,11<0,2)

           1+ 2
    x* =        = 1.5 ; F(x*)=f(1.5)=2.83
            2

                                      Метод Ньютона
            (с использованием второй производной оптимизируемой функции.)
      Данный метод применяется, если функция F(x) имеет первую и вторую
производную, причем вторая производная функции в заданном диапазоне
больше 0.
            Алгоритм вычислений по методу Ньютона следующий:
1. Задать погрешность определения точки минимума E зад .
                                                          a+b *
2. В качестве первой пробуемой точки взять x0 =
                                                           2
3. Осуществить проверку на окончание решения задачи . Для этого вычислить
ΕП = F’(xk) , К=0,1,2… Если E зад .≥ ΕП то перейти к п.5, иначе к п.4.
                                                          F ' ( xk )
4. Определить новую пробную точку: x k +1 = x k −                      к=0,1,2,…; перейти к
                                                          F ' ' ( xk )
      п.3.
5. Принять последнюю пробную точку за точку минимума и вычислить
   минимум целевой функции в этой точке
    Пример: Определить минимум унимодальной функции вида F(x)=x4-8x2-9 в
интервале [2,3] Погрешность определения местоположения минимума E зад = 0,1.
1. E зад = 0,1.
              a +b 2+3
2. x 0 =          =    = 2 .5
                2   2
3. F’(x)= 4x3-16x =22.5
      Еп>Езад (22.5>0,1)
4. F"(x0)=12x2-16=59
                   22.5
      x1 = x 0 −        = 2.12
                    59
3. F’(x1)=4.08
     Еп>Езад (4.8>0,1)

*
 Если начальная точка достаточна близка к х*,то процесс поиска может оказаться расходящимся.
Тогда целесообразно начальную точку взять по золотому сечению.

Страницы