Методические материалы для изучения алгоритмов реализации методов безусловной оптимизации непрерывных одномерных и многомерных унимодальных функций. Корнилов А.Г. - 23 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

22
2/1.2
)4(
1
=x
8/5
)4(
2
=x
8/11
)4(
3
=x
z
4
[1/2,5/8,11/8]
F(z
4
)=1/4+25/64+121/64-1/4-11/4-55/64= -1.579375
F(z
4
) < F(z
3
), т.е. пробной точкой становится точка z
4
.
1.
;0
1
=
dx
dF
;125.0
2
=
dx
dF
;125.0
3
=
dx
dF
;)(
4
1
зад
Ez
dx
dF
<
;)(
4
2
зад
Ez
dx
dF
<
;)(
4
3
зад
Ez
dx
dF
<
()
579375.1xf;;
8
11
;
8
5
;
2
1
x
**
=
Метод минимизации непрерывной дважды дифференцируемой
многомерной функции
.
(с использованием матрицы Гессе)
Данный метод относится к локальным методам оптимизации без учета
ограничений второго порядка т.е. с использованием вторых производных.
Алгоритм метода.
1. Находятся частные производные целевой функции F(
1
x ,…,
n
x )
2.
Определяются координаты стационарной точки Z
0
(
))0(
1
x ,…,
)0(
n
x
)
путём решения системы уравнений: grad F(x) = F(x) = 0, т.е.
0.......0
1
=
=
n
x
F
x
F
,
3.
Строится Гессиан целевой функции:
nnn
n
nnn
n
aa
aa
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
ZFГ
...
......
...
...
......
...
))("(
1
111
2
1
2
1
2
11
2
0
=
=
4.
Проверяется знакоопределенность по критерию Сильверста.
Если имеет место n неравенств вида:
0
a...a
......
a...a
;...0
aa
aa
;0a
nn1n
n111
2221
1211
11
>>>
то имеет место положительная знакоопределенность (минимум функции)
                                                             22

           ( 4)               ( 4)              ( 4)
    2.x1          = 1/ 2   x 2 = 5 / 8 x3 = 11 / 8
                        z4[1/2,5/8,11/8]
                  F(z4)=1/4+25/64+121/64-1/4-11/4-55/64= -1.579375
                  F(z4) < F(z3), т.е. пробной точкой становится точка z4.
       dF                        dF                         dF
1.         = 0;                       = −0.125;                 = 0.125;
       dx1                       dx 2                       dx3
            dF                             dF                          dF
                ( z 4 ) < E зад ;               ( z 4 ) < E зад ;          ( z 4 ) < E зад ;
            dx1                            dx 2                        dx3

           x * ⎜ ; ; ; ⎟; f (x * ) = 1.579375
               ⎛ 1 5 11 ⎞
               ⎝2 8 8 ⎠




    Метод минимизации непрерывной дважды дифференцируемой
                    многомерной функции.
                                      (с использованием матрицы Гессе)
      Данный метод относится к локальным методам оптимизации без учета
ограничений второго порядка т.е. с использованием вторых производных.

                  Алгоритм метода.
1. Находятся частные производные целевой функции F( x1 ,…, x n )
                                                                                  ( 0 ))             (0)
2. Определяются координаты стационарной точки Z0 ( x1                                      ,…, x n         )
путём решения системы                           уравнений:          grad   F(x)      =       ∇F(x)             =   0,   т.е.
∂F             ∂F
    = 0.......      = 0,
∂x1            ∂x n
3. Строится Гессиан целевой функции:
                                      ∂2F            ∂2F
                                                ...             a11 ... a n1
                                     ∂x1∂x1         ∂x1∂x n
                  Г ( F " ( Z 0 )) =   ...             ...    = ...      ...
                                      ∂2F            ∂ F2
                                                                a1n ... a nn
                                                ...
                                     ∂x n ∂x1       ∂x n ∂x n
4. Проверяется знакоопределенность по критерию Сильверста.
−     Если имеет место n неравенств вида:
                                     a 11 ... a 1n
                   a 11 a 12
         a 11 > 0;           > 0;... ...       ... > 0
                   a 21 a 22
                                     a n1 ... a nn
                  то имеет место положительная знакоопределенность (минимум функции)