Методические материалы для изучения алгоритмов реализации методов безусловной оптимизации непрерывных одномерных и многомерных унимодальных функций. Корнилов А.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КНИТУ-КАИ им. Туполева | Казань

Составители: 

Рубрика: 

23
− Если имеет место n неравенств вида:
0
a...a
......
a...a
)1;...(0
aa
aa
)1(;0a)1(
nn1n
n111
n
2221
1211
n
11
n
>−>−>−
↑n=1 ↑n=2 ↑n=n
n-порядок минора.
то имеет место отрицательная знакоопределенность (максимум функции)
Если знак меняется, то экстремума нет. Если какая –то форма равна 0, то
требуются производные более высокого порядка.
Пример:
Найти минимум функции вида:
F(x
1
, x
2
, x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-x
1
-2x
3
-x
2
x
3
1.
12
1
1
−=
∂
∂
x
x
F
32
2
2 xx
x
F
−=
∂
∂
23
3
22 xx
x
F
−−=
∂
∂
2.
2x
1
-1=0
2x
2
-x
3
=0
2x
3
-2-x
2
=0
,2/1
))0(
1
=x ,3/2
)0(
2
=x
3/4
)0(
3
=x ,
3.
33
2
32
2
31
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
2
210
120
002
)("(
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
xx
F
ZFГ
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
=
−
−=
4.
;0404
20
02
;02
11
>=−=>=a
06)14(2
10
20
0
20
10
0
21
12
2
210
120
002
>=−=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
т.е. имеет место min. 
                                                                        23

−    Если имеет место n неравенств вида:
                                                                                     a 11   ... a 1n
                                                 a 11     a 12
            (−1) a 11 > 0; (−1)
                      n                      n
                                                                  > 0;...( −1)   n
                                                                                     ...         ...   >0
                                                 a 21     a 22
                                                                                     a n1 ... a nn
                       ↑n=1                  ↑n=2                                ↑n=n
            n-порядок минора.
            то имеет место отрицательная знакоопределенность (максимум функции)
      Если знак меняется, то экстремума нет. Если какая –то форма равна 0, то
требуются производные более высокого порядка.
            Пример:
            Найти минимум функции вида:
            F(x1, x2, x3)=x12+x22+x32-x1-2x3-x2x3
      ∂F
1.        = 2 x1 − 1
      ∂x1
     ∂F
          = 2 x 2 − x3
     ∂x 2
     ∂F
         = 2 x3 − 2 − x 2
     ∂x3
2. 2x1-1=0
     2x2-x3=0
     2x3-2-x2=0
            ( 0 ))                  (0)                 ( 0)
       x1            = 1 / 2, x 2         = 2 / 3, x3          = 4/3,


                              ∂2F                                        ∂2F           ∂2F
                   2 0  0    ∂x1∂x1                                     ∂x 2 ∂x1      ∂x3 ∂x1
                              ∂2F                                        ∂2F           ∂2F
3. Г ( F " ( Z ) = 0 2 − 1 =
                             ∂x1∂x 2                                    ∂x 2 ∂x 2     ∂x3 ∂x 2
                   0 −1 2
                              ∂2F                                        ∂2F           ∂2F
                             ∂x1∂x3                                     ∂x 2 ∂x3      ∂x3 ∂x3

             2 0
4. a11 = 2 > 0;  = 4 − 0 = 4 > 0;
             0 2
       2 0  0
                  2 −1         0 −1    0 2
       0 2 −1 = 2          −0       +0      = 2(4 − 1) = 6 > 0
                  −1 2         0 2     0 −1
       0 −1 2
      т.е. имеет место min.

Страницы