Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 15 стр.

    2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.
    В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на
оси симметрии, находится в начале координат.
    Парабола y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокаль-
ный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.
    Парабола x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокаль-
ный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.
    Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две
или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство
F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия
F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где
F(x, y)<0.
    Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На
практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем
Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек.
Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой
Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение
Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоско-
сти, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C
имеет противоположный знак.
    Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвест-
ными.
    Например, решим неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0. Его можно перепи-
сать в виде (x-2)2 + (y+3)2 - 25 > 0.
    Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке
C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внут-
реннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное не-
равенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например,
центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую
часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех
точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x2-4x+y2+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место
во внешней для окружности области.
    Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку
A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o.
    Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку
прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравне-
нию прямой, т.е. 1=3k+b, ⇒ b=1-3k. Величина угла между прямыми
                                                    k1 − k
y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tgϕ =             . Так как угловой
                                                    1 + k1 k


                                                                            13