Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 17 стр.

   Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2 = 1.
Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2,
откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты удовлетво-
ряют уравнению гиперболы, т.е. 144/a2 - 27/b2 = 1. Учитывая, что a = 2b,
найдем b: b2=9 ⇒ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x2/36 - y2/9 = 1.
   Пример 1.11. Вычислить длину стороны правильного треугольника
ABC, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А
совпадает с вершиной параболы.
   Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид
 2
y = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симмет-
рична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox
                                                   1
угол в 30o, то уравнение прямой имеет вид: y =         x.
                                                   3
   Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему
                         1
уравнений y2=2рx, y =        x, откуда x = 6р, y = 2    3 р. Значит, расстояние
                         3
между точками A(0,0) и B(6р,2 3 р) равно 4 3 р.
   Пример 1.12. Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и
скорые поезда. Данные приведены в таблице.
   Тип поезда                    Количество вагонов в составе
                      плацкартных        купейных                    мягких
 Пассажирский               5                  6                        3
    Скорый                  8                  4                        1
 Резерв вагонов            80                 72                       21
    Записать в математической форме условия, не позволяющие превысить
наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поез-
дов, ежедневно отправляемых со станции. Построить на плоскости Oxy об-
ласть допустимых вариантов формирования поездов.
    Решение. Обозначим через x количество пассажирских поездов,
а через y - количество скорых. Получим систему линейных неравенств:
5x + 8y ≤ 80, 6x + 4y ≤ 72, 3x + y ≤ 21, x ≥ 0, y ≥ 0.
    Построим соответствующие прямые:
             5x + 8y = 80, 6x +4y = 72, 3x + y = 21, x = 0, y = 0,
записав их уравнения в виде уравнений прямых в отрезках: x/16 + y/10 = 1,
x/12 + y/18 = 1, x/7 + y/21 = 1, x = 0, y = 0.
   Заштрихуем полуплоскости, удовлетворяющие данным неравенствам, и
получим область допустимых значений:

                         y

                                                                              15