Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 16 стр.

коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол ϕ = 45o, то
имеем уравнение для определения k:
                (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
   Имеем два значения k: k1 = 1/5, k2 = -5. Находя соответствующие значе-
ния b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые: x - 5y + 2 = 0 и
5x + y - 16 = 0.
   Пример 1.6. При каком значении параметра t прямые, заданные урав-
нениями 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?
   Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если
коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая
полученное уравнение, находим t: t1 = 2, t2 = -2/3.
   Пример 1.7. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
x +y2 =10 и x2+y2-10x-10y+30=0.
 2

   Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим
систему уравнений:
⎧x 2 + y 2 = 10              ⎧x 2 + y 2 = 10          ⎧x 2 + y 2 = 10 ⎧x 2 + (4 - x) 2 = 10
⎨ 2                        ⇒ ⎨                      ⇒ ⎨              ⇒⎨                     .
⎩x + y − 10x - 10y + 30 = 0 ⎩10 − 10x - 10y + 30 = 0 ⎩y = 4 - x
         2
                                                                      ⎩y = 4 - x
    Решая первое уравнение, находим значения x1 = 3, x2 = 1. Из второго
уравнения - соответствующие значения y: y1 = 1, y2 = 3. Теперь получим
уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие
этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.
    Пример 1.8. Как расположены на плоскости точки, координаты кото-
рых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?
    Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга,
не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса 8 .
Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой x = y,
причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат
полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоско-
сти. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то
искомая область - внутренность полукруга.
    Пример 1.9. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс
x /a + y2/b2 = 1.
 2 2

    Решение. Пусть М(с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти.
Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу,
ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c2/a2 + c2/b2 = 1, откуда
c = ab/ a 2 + b 2 ; значит, сторона квадрата - 2ab/ a 2 + b 2 .
    Пример 1.10. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из
ее точек М(12, 3 3 ), составить уравнение гиперболы.


14