Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 23 стр.

   Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным
вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плос-
кости, найдем D: 1-(-1)+3⋅3+D = 0 ⇒ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
   Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось
Оz и образующей с плоскостью 2x+y- 5 z-7=0 угол 60о.
   Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением
Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
                         2m + 1
                                   = cos 60о, где m = A/B.
                        m + 1 10
                         2



   Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
   Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
   Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
                              x − x1 y − y1 z − z1
                                    =      =
                                m      n      p
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - коорди-
наты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия
пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую пря-
мой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например,
x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с
двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда
y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой,
мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная
нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
               i   j   k
n = [n1, n2] = 5   1    1 = (-2-3)i - (-10-2)j + (15-2)k = -5i+12j+13k.
               2   3   -2
    Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
    Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и
х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых
проходит через точку М(1,0,1).
    Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, име-
ет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одно-
временно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

                                                                           21