Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

24
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоя-
щие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием
называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы
меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспониро-
вание значком Т наверху.
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим
матрицу
A
T
=
a a ... a
a a... a
... ... ... ...
a a ... a
11 21 m 1
12 22 m 2
1 n 2 n m n
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
,
которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частно-
сти, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и
наоборот.
Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы
которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умноже-
нием на число λ: λ A = (λ a
i j
).
Суммой двух матриц А = (a
i j
) и B = (b
i j
) одного размера называется
матрица C = (c
i j
) того же размера, элементы которой определяются по
формуле c
i j
= a
i j
+ b
i j
.
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предполо-
жении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением двух матриц А = (a
i j
) и B = (b
j k
), где i =1, n , j=1, m , k=
1, p
,
заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c
i k
), эле-
менты которой определяются по следующему правилу:
c
i k
= a
i 1
b
1 k
+ a
i 2
b
2 k
+... + a
i m
b
m k
=
s=1
m
∑
a
i s
b
s k
. (4.2)
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются сле-
дующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сум-
ме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие
элементы k-го столбца матрицы В.
Пример 2.1. Найти произведение матриц А=
1 2 1
3 1 0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
и В =
1 2 3
2 0 1
3 5 4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Решение. Имеем: матрица А размера 2×3, матрица В размера 3×3, тогда
произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с
11
= 1⋅1 +2⋅2 + 1⋅3 = 8, с
21
= 3⋅1 + 1⋅2 + 0⋅3 = 5, с
12
= 1⋅2 + 2⋅0 + 1⋅5 = 7,
с
22
=3⋅2 + 1⋅0 + 0⋅5 = 6, с
13
= 1⋅3 + 2⋅1 + 1⋅4 = 9, с
23
= 3⋅3 + 1⋅1 + 0⋅4 = 10. 
   Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоя-
щие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием
называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы
меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспониро-
вание значком Т наверху.
   Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим
матрицу
                                     ⎛ a 11   a 21 ... a m 1 ⎞
                                     ⎜                        ⎟
                                   T ⎜ a 12   a 22 ... a m 2 ⎟
                                  A =⎜                          ,
                                       ...    ... ... ... ⎟
                                     ⎜                        ⎟
                                     ⎝ a1 n   a 2 n ... a m n ⎠

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частно-
сти, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и
наоборот.
   Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы
которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умноже-
нием на число λ: λ A = (λ ai j).
   Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется
матрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются по
формуле ci j = ai j + bi j.
   Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предполо-
жении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
   Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i = 1, n , j= 1, m , k= 1, p ,
заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k), эле-
менты которой определяются по следующему правилу:
                                                                    m
                c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +... + ai m bm k = ∑ ai s bs k.     (4.2)
                                                                    s=1


   Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются сле-
дующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сум-
ме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие
элементы k-го столбца матрицы В.
                                                             ⎛1 2 3 ⎞
                                              ⎛1 2 1 ⎞       ⎜      ⎟
     Пример 2.1. Найти произведение матриц А= ⎜      ⎟ и В = ⎜ 2 0 1⎟ .
                                              ⎝ 3 1 0⎠       ⎜      ⎟
                                                             ⎝ 3 5 4⎠
    Решение. Имеем: матрица А размера 2×3, матрица В размера 3×3, тогда
произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с11 = 1⋅1 +2⋅2 + 1⋅3 = 8, с21 = 3⋅1 + 1⋅2 + 0⋅3 = 5, с12 = 1⋅2 + 2⋅0 + 1⋅5 = 7,
с22 =3⋅2 + 1⋅0 + 0⋅5 = 6, с13 = 1⋅3 + 2⋅1 + 1⋅4 = 9, с23 = 3⋅3 + 1⋅1 + 0⋅4 = 10.

24

Страницы