Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 29 стр.

число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно
12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 переста-
новок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке
числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой
перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
    Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответст-
венно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством ко-
торой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n
чисел, называется подстановкой n-ой степени.
    Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается
двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые
места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими
                                                             ⎛ 3 1 2 4⎞
и пишутся одно под другим. Например, символ ⎜                         ⎟ обозначает под-
                                                             ⎝ 4 2 1 3⎠
становку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка на-
зывается четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих стро-
ках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может
                     ⎛ 1 2 ... n ⎞
быть записана в виде ⎜                 ⎟ ,т.е. с натуральным расположением чисел
                     ⎝ q 1 q 2 ... q n ⎠
в верхней строке.
    Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
                             ⎛ a 11   a 12 ... a 1 n ⎞
                             ⎜                        ⎟
                             ⎜ a 21   a 22 ... a 2 n ⎟
                                                        .                         (4.3)
                             ⎜ ...    ... ... ...⎟
                             ⎜                        ⎟
                             ⎝an 1    a n 2 ... a n n ⎠

   Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матри-
цы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого
столбца, т.е. произведений вида:
                              a 1 q1 a 2 q 2 ... a n q n ,                        (4.4)
где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок
из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q -
число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
    Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называ-
ется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя




                                                                                     27