Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 30 стр.

                                   a 11 a 12 ... a 1 n                  a 11 a 12 ... a 1 n
                                   a 21 a 22 ... a 2 n                  a 21 a 22 ... a 2 n
употребляется символ ⎢A ⎢=                                 или det A=                           (де-
                                   ... ... ... ...                      ... ... ... ...
                                   a n 1 a n 2 ... a n n                a n 1 a n 2 ... a n n
терминант, или определитель, матрицы А).
    Свойства определителей
    1. Определитель не меняется при транспонировании.
    2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель
равен нулю.
    3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет
знак.
    4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
    5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на не-
которое число k, то сам определитель умножится на k.
    6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен ну-
лю.
    7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде
суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j= 1, n ), то определитель равен сумме оп-
ределителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном
определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в
другом - из элементов cj.
    8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк при-
бавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на од-
но и то же число.
    Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк
взять столбцы.
    Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется оп-
ределитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и
столбца, содержащих данный элемент.
    Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется
его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение эле-
мента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
    Способы практического вычисления определителей, основанные на
том, что определитель порядка n может быть выражен через определители
более низких порядков, дает следующая теорема.
    Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
    Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной
его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря,
имеет место разложение d по элементам i-й строки
                  d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i = 1, n )

28