Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

30
A = a
11
A
11
=
a
a 0 ... 0
a a ... 0
-----------
a a ...a
11
22
32 33
n 2 n 3 n n
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой
строке, тогда получим:
A =
aa
a 0 ... 0
a a 0
-----------
a a a
11 22
33
43 44
n 3 n 4 n n
⋅
...
...
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а
11
а
22.
.. a
nn.
Пример 2.7. Вычислить определитель
1 2 3 ... n
-1 0 3 ... n
-1 - 2 0 ... n
--------------
-1 - 2 - 3 ... 0
.
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, при-
бавить первую строку, то получится определитель, в котором все элемен-
ты, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно,
получим определитель:
1 2 3 ... n
0 2 6 ... 2n
0 0 3 ... 2n
---------------
0 0 0 ... n
, равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произве-
дению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого
вычислен данный определитель, называется способом приведения к тре-
угольному виду.
4.3. Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выде-
лить произвольно k строк и k столбцов,
то элементы, стоящие на пересече-
нии выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го по-
рядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка мат-
рицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1
до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров
матрицы А найдется по крайней
мере один минор, порядок которого будет
наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отлич-
                                                              a 22   0 ... 0
                                                              a 32   a 33 ... 0
                                      A = a11 A11 = a 11                             .
                                                              -----------
                                                              a n 2 a n 3 ...a n n

   Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой
строке, тогда получим:
                       a 33    0 ... 0
                       a 43    a 44 ... 0
     A = a 11 ⋅ a 22                           .
                       -----------
                       a n 3 a n 4 ... a n n
     И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.
                                                                     1     2      3 ... n
                                                                     -1    0      3 ... n
     Пример 2.7. Вычислить определитель -1 - 2                              0 ... n .
                                                                     --------------
                                                                     -1 - 2 - 3 ... 0
   Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, при-
бавить первую строку, то получится определитель, в котором все элемен-
ты, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно,
                                        1          2   3 ... n
                                        0          2   6 ... 2n
получим определитель: 0                            0   3 ... 2n , равный исходному.
                                         ---------------
                                         0 0     0 ... n
   Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произве-
дению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого
вычислен данный определитель, называется способом приведения к тре-
угольному виду.

   4.3. Ранг матрицы
   Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выде-
лить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересече-
нии выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го по-
рядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка мат-
рицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1
до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров
матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет
наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отлич-

30

Страницы