Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 33 стр.

ных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то
это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r,
но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А
обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение
                            0 ≤ r(A) ≤ min (m, n).
    Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо ме-
тодом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы
первым способом следует переходить от миноров низших порядков к ми-
норам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка
матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры
(k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве
минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
    Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
    1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
    2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
    3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или
столбца), умноженной на некоторое число.
    Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получает-
ся из другой с помощью конечного множества элементарных преобразова-
ний.
    Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их
ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так:
A ∼ B.
    Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале
главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых
может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,
          ⎛ 1 0 0 0 0⎞
          ⎜           ⎟
например, ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ .
          ⎜           ⎟
          ⎝0 0 0 0 0⎠
   При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую
матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы ра-
вен числу единиц на ее главной диагонали.
   Пример 2.8. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
⎛1 2       -1   - 2⎞
⎜                  ⎟
⎜2     4   3      0⎟ .
⎜                  ⎟
⎝ -1 - 2   6     6⎠
   Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы
А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой
строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего

                                                                     31