Составители:
Рубрика:
34
Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
Δ = det А =
2 - 2 1
2 1 - 2
1 2 2
= 27 ≠ 0, значит, обратная матрица существует и мы
ее можем найти по формуле: А
−1
= 1/Δ
A A A
A A A
A A A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, где А
i j
(i,j=1,2,3) -
алгебраические дополнения элементов а
i j
исходной матрицы. Имеем:
A
- 2
2 2
11
+1
=− = + =() ,1
1
24 6
1
A
- 2
1 2
12
+2
=− =− + =−() ( ) ,1
2
42 6
1
A
1
1 2
13
+3
=− = − =() ,1
2
413
1
A
1
2 2
21
+1
=−
−
=−− − =() ( ) ,1
2
42 6
2
A
1
1 2
22
+2
=− = − =() ,1
2
413
2
A
- 2
1 2
23
+3
=− =− + =−() ( ) ,1
2
42 6
2
A
1
1 - 2
31
+1
=−
−
=−=() ,1
2
413
3
A
1
2 - 2
32
+2
=− =−−− =() ( ) ,1
2
42 6
3
A
- 2
2 1
33
+3
=− = + =() ,1
2
24 6
3
откуда А
−1
=
1
27
6
1
9
2 6 3
-6 3 6
3 - 6 6
2 1
-2 1 2
1 - 2 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную
матрицу для матрицы: А=
2 1 -1
5 2 4
7 3 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матри-
цу того же порядка:
2
5
7
0
0
1
1-1
24
32
10
01
00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, со-
вершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:
2
5
7
0
0
1
1-1
24
32
10
01
00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
∼
1
2
3
0
0
1
2-1
54
72
01
10
00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. К третьему столбцу прибавим пер-
Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
2 -2 1
Δ = det А = 2 1 - 2 = 27 ≠ 0, значит, обратная матрица существует и мы
1 2 2
⎛ A 11 A 21 A 31 ⎞
−1 ⎜ ⎟
ее можем найти по формуле: А = 1/Δ ⎜ A 12 A 22 A 32 ⎟ , где Аi j (i,j=1,2,3) -
⎜ ⎟
⎝ A 13 A 23 A 33 ⎠
алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:
1 -2 2 -2
A 11 = ( −1) 1+1 = 2 + 4 = 6, A 12 = ( −1) 1+2 = − (4 + 2) = −6,
2 2 1 2
2 1 −2 1
A 13 = ( −1) 1+3 = 4 − 1 = 3, A 21 = ( −1) 2+1 = − ( −4 − 2) = 6,
1 2 2 2
2 1 2 -2
A 22 = ( −1) 2+2 = 4 − 1 = 3, A 23 = ( −1) 2+3 = − (4 + 2) = −6,
1 2 1 2
−2 1 2 1
A 31 = ( −1) 3+1 = 4 − 1 = 3, A 32 = ( −1) 3+2 = − ( −4 − 2) = 6,
1 -2 2 -2
⎛6 6 3⎞ ⎛2 2 1⎞
2 -2 −1 1 ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟
A 33 = ( −1) 3+3
= 2 + 4 = 6, откуда А = -6 3 6 ⎟ = ⎜ -2 1 2⎟ .
2 1 27 ⎜⎜ ⎟ 9⎜ ⎟
⎝3 -6 6⎠ ⎝1 - 2 2⎠
Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную
⎛2 1 -1 ⎞
⎜ ⎟
матрицу для матрицы: А= ⎜ 5 2 4⎟ .
⎜ ⎟
⎝7 3 2⎠
Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матри-
⎛ 2 1 -1 1 0 0⎞
⎜ ⎟
цу того же порядка: ⎜ 5 2 4 0 1 0⎟ . С помощью элементарных
⎜ 7 3 2 0 0 1⎟
⎝ ⎠
преобразований столбцов приведем левую половину к единичной, со-
вершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:
⎛ 2 1 -1 1 0 0⎞ ⎛ 1 2 -1 0 1 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 5 2 4 0 1 0⎟ ∼ ⎜ 2 5 4 1 0 0⎟ . К третьему столбцу прибавим пер-
⎜ 7 3 2 0 0 1⎟ ⎜ 3 7 2 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
