Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

35
вый, а ко второму - первый, умноженный на -2:
1
2
3
0
1
1
00
16
15
01
1-2
00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. Из пер-
вого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6
второй;
1
0
1
6
13
1
00
10
1-1
-2 1 -
5-2
00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. Прибавим третий столбец к первому и вто-
рому:
1
0
0
6
13
1
00
10
0-1
-8 -5 -
18 11
11
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. Умножим последний столбец на -1:
1
0
0
6
13
1
00
10
0-1
-8 -5
18 11 -
11-
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. Полученная справа от вертикальной черты квадрат-
ная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
А
−1
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
8 - 5 6
18 11 - 13
1 1 - 1
.
5. Системы линейных уравнений
5.1. Критерий совместности
Система линейных уравнений имеет вид:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+... + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+... + a
2n
x
n
= b
2
, (5.1)
... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m1
x
2
+... + a
mn
x
n
= b
m
.
Здесь а
i j
и b
i
(i = 1, m; j = 1, n ) - заданные, а x
j
- неизвестные действи-
тельные числа. Используя понятие произведения матриц, можно перепи-
сать систему (5.1) в виде:
AX = B, (5.2)
где A = (а
i j
) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных сис-
темы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x
1
, x
2
,..., x
n
)
T
,
B = (b
1
, b
2
,..., b
m
)
T
- векторы-столбцы, составленные соответственно из не-
известных x
j
и из свободных членов b
i
.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c
1
, c
2
,..., c
n
) назы-
вается решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел
вместо соответствующих переменных x
1
, x
2
,..., x
n
каждое уравнение систе-
                                              ⎛ 1 0 0 0 1 0⎞
                                              ⎜              ⎟
вый, а ко второму - первый, умноженный на -2: ⎜ 2 1 6 1 - 2 1⎟ . Из пер-
                                              ⎜ 3 1 5 0 0 1⎟
                                              ⎝              ⎠
вого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6
        ⎛ 1 0 0 - 2 1 - 6⎞
        ⎜                ⎟
второй; ⎜ 0 1 0 5 - 2 13⎟ . Прибавим третий столбец к первому и вто-
        ⎜ 1 1 -1 0 0 1 ⎟
        ⎝                ⎠
           ⎛ 1 0 0 - 8 - 5 - 6⎞
           ⎜                  ⎟
рому:      ⎜ 0 1 0 18 11 13⎟ .        Умножим       последний     столбец   на     -1:
           ⎜ 0 0 -1 1 1 1 ⎟
           ⎝                  ⎠
⎛1 0 0 - 8 - 5 6 ⎞
⎜                 ⎟
⎜ 0 1 0 18 11 - 13⎟ . Полученная справа от вертикальной черты квадрат-
⎜ 0 0 -1 1 1 - 1 ⎟
⎝                 ⎠
ная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
        ⎛ −8   -5   6⎞
 −1     ⎜             ⎟
А     = ⎜18    11 - 13⎟ .
        ⎜             ⎟
        ⎝1      1 - 1⎠


      5. Системы линейных уравнений
      5.1. Критерий совместности
      Система линейных уравнений имеет вид:
                            a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
                            a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2,         (5.1)
                                   ... ... ... ...
                            am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = bm.
   Здесь аi j и bi (i = 1, m ; j = 1, n ) - заданные, а xj - неизвестные действи-
тельные числа. Используя понятие произведения матриц, можно перепи-
сать систему (5.1) в виде:
                                       AX = B,                                   (5.2)
где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных сис-
темы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T,
B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из не-
известных xj и из свободных членов bi.
    Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) назы-
вается решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел
вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение систе-

                                                                                    35

Страницы