Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

37
Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она
совместна:
5x
1
- x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 7,
2x
1
+ x
2
+ 4x
3
- 2x
4
= 1,
x
1
- 3x
2
- 6x
3
+ 5x
4
= 0.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
⎯A =
5 - 1 2 1 7
2 1 4 - 2 1
1 - 3 - 6 5 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например,
минор второго порядка в левом верхнем углу
5 - 1
2 1
= 7 ≠ 0; содержащие
его миноры третьего порядка равны нулю:
M′
3
=
5 - 1 2
2 1 4
1 -3 -6
= 0, M″
3
=
5 - 1 2
2 1 4
1 -3 -6
= 0.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2.
Для вычисления ранга расширенной матрицы ⎯A рассмотрим окаймляю-
щий минор
5 - 1 7
2 1 1
1 - 3 0
=
5 14 7
2 7 1
1 0 0
= -35 ≠ 0,
значит, ранг расширенной матрицы r(⎯A) = 3. Поскольку r(A) ≠ r(⎯A), то
система несовместна.
5.2. Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения
систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последова-
тельного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том,
что посредством последовательных исключений неизвестных данная сис-
тема превращается в ступенчатую (
в частности, треугольную) систему,
равносильную данной. При практическом решении системы линейных
уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не са-
му систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя
элементарные преобразования над ее строками. Последовательно полу-
   Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она
совместна:
                                  5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7,
                                  2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,
                                   x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.
   Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
                              ⎛5           -1       2       1     7⎞
                              ⎜                                    ⎟
                         ⎯A = ⎜ 2           1        4 -2         1⎟ .
                              ⎜                                    ⎟
                              ⎝1           -3       -6  5         0⎠

   Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например,
                                                                  5      -1
минор второго порядка в левом верхнем углу                                  = 7 ≠ 0; содержащие
                                                                  2       1
его миноры третьего порядка равны нулю:
                         5 -1          2                        5 -1     2
                M′3 = 2       1     4 = 0, M″3 = 2                1      4 = 0.
                         1 -3 -6                                1 -3 -6

   Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2.
Для вычисления ранга расширенной матрицы ⎯A рассмотрим окаймляю-
щий минор
                     5 -1          7       5 14         7
                     2    1        1 = 2        7       1 = -35 ≠ 0,
                     1 -3          0       1    0       0

значит, ранг расширенной матрицы r(⎯A) = 3. Поскольку r(A) ≠ r(⎯A), то
система несовместна.

   5.2. Метод Гаусса
   Исторически первым, наиболее распространенным методом решения
систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последова-
тельного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том,
что посредством последовательных исключений неизвестных данная сис-
тема превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему,
равносильную данной. При практическом решении системы линейных
уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не са-
му систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя
элементарные преобразования над ее строками. Последовательно полу-


                                                                                             37

Страницы