Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

39
и n вспомогательных определителей Δ
i
(i=1, n ), которые получаются из оп-
ределителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
Δ ⋅ x
i
= Δ
i
(i = 1, n ). (5.4)
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ
на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель сис-
темы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, опреде-
ляемое по формулам:
x
i
= Δ
i
/ Δ.
Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные опреде-
лители Δ
i
= 0 (i= 1, n ), то система имеет бесчисленное множество решений.
Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогатель-
ный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 5,
x
1
+ 2x
2
- x
3
+ 4x
4
= -2,
2x
1
- 3x
2
- x
3
- 5x
4
= -2,
3x
1
+ x
2
+2x
3
+ 11 x
4
= 0.
Решение. Главный определитель этой системы
Δ =
1 1 1 1
1 2 - 1 4
2 - 3 - 1 - 5
3 1 2 11
= -142 ≠ 0,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные
определители Δ
i
(i=14, ), получающиеся из определителя Δ путем замены в
нем столбца, состоящего из коэффициентов при x
i,
столбцом из свободных
членов:
Δ
1
=
5 1 1 1
-2 2 - 1 4
-2 - 3 - 1 - 5
0 1 2 11
= - 142, Δ
2
=
1 5 1 1
1 - 2 - 1 4
2 - 2 - 1 - 5
3 0 2 11
= - 284,
Δ
3
=
1 1 5 1
1 2 - 2 4
2 - 3 - 2 - 5
3 1 0 11
= - 426, Δ
4
=
1 1 1 5
1 2 - 1 - 2
2 - 3 - 1 - 2
3 1 2 0
= 142. 
и n вспомогательных определителей Δ i (i= 1, n ), которые получаются из оп-
ределителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
    Формулы Крамера имеют вид:
                                   Δ ⋅ x i = Δ i (i = 1, n ).             (5.4)
   Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ
на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель сис-
темы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, опреде-
ляемое по формулам:
                                      x i = Δ i / Δ.
   Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные опреде-
лители Δ i = 0 (i= 1, n ), то система имеет бесчисленное множество решений.
Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогатель-
ный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
   Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
                            x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
                            x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
                           2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
                           3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
   Решение. Главный определитель этой системы
                               1     1     1    1
                               1   2 -1  4
                          Δ=               = -142 ≠ 0,
                               2 - 3 -1 -5
                               3 1 2 11

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные
определители Δ i (i= 1,4 ), получающиеся из определителя Δ путем замены в
нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных
членов:
       5   1   1    1                         1 5    1  1
       -2   2 -1    4                         1 - 2 -1  4
   Δ1=                = - 142,            Δ2=             = - 284,
       -2 - 3 - 1 - 5                         2 - 2 -1 -5
         0   1   2   11                             3   0       2   11
         1   1   5   1                              1   1       1    5
         1  2 -2  4                                 1   2 -1 - 2
   Δ3=              = - 426,              Δ4=                    = 142.
         2 -3 -2 -5                                 2 - 3 -1 - 2
         3  1 0 11                                  3   1 2   0


                                                                             39

Страницы