Составители:
Рубрика:
41
Выполняя действия над матрицами, получим:
x
1
= 1/5(1⋅6+3⋅3-2⋅5) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x
2
= 1/5 (-3⋅6 +1⋅3 - 1⋅5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x
3
= 1/5 (1⋅6 - 2⋅3 + 3⋅5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)
T
.
5.5. Системы линейных уравнений общего вида
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ⎯A имеют
один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;
б) r < n:
а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными,
причем определитель Δ этой системы отличен от нуля. Такая система име-
ет единственное решение, получаемое
по формулам Крамера;
б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвест-
ных.
Перенесем лишние неизвестные x
r+1
, x
r+2
,..., x
n
, которые принято назы-
вать свободными, в правые части; наша система линейных уравнений при-
мет вид:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+... + a
1r
x
r
= b
1
- a
1
,
r+1
x
r+1
-... - a
1n
x
n,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+... + a
2r
x
r
= b
2
- a
2
,
r+1
x
r+1
-... - a
2n
x
n,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a
r1
x
1
+ a
r2
x
2
+... + a
rr
x
r
= b
r
- a
r
,
r+1
x
r+1
-... - a
rn
x
n.
Ее можно решить относительно x
1
, x
2
,..., x
r
, так как определитель этой
системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным
произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответ-
ствующие числовые значения для x
1
, x
2
,..., x
r.
Таким образом, при r < n
имеем бесчисленное множество решений.
Система (5.1) называется однородной, если все b
i
= 0, т. е. она имеет
вид:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+... + a
1n
x
n
= 0,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+... + a
2n
x
n
= 0, (5.5)
... ... ... ... ... ...
a
m1
x
1
+ a
m1
x
2
+... + a
mn
x
n
= 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так
как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это,
впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нуле-
вым, или тривиальным, решением x
1
= x
2
=... = x
n
= 0. Пусть матрица А
системы (5.5) имеет ранг r.
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1⋅6+3⋅3-2⋅5) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-3⋅6 +1⋅3 - 1⋅5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x3 = 1/5 (1⋅6 - 2⋅3 + 3⋅5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
5.5. Системы линейных уравнений общего вида
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ⎯A имеют
один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;
б) r < n:
а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными,
причем определитель Δ этой системы отличен от нуля. Такая система име-
ет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;
б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвест-
ных.
Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято назы-
вать свободными, в правые части; наша система линейных уравнений при-
мет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой
системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным
произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответ-
ствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n
имеем бесчисленное множество решений.
Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет
вид:
a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)
... ... ... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так
как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это,
впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нуле-
вым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А
системы (5.5) имеет ранг r.
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
