Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 45 стр.

   Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она
совместна.
                               x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
                              3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
                               x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
   Решение. Будем находить ранги матриц A и ⎯A методом элементарных
преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
       ⎛ 1 1 - 2 - 1 1 1⎞    ⎛ 1 1 - 2 - 1 1 1⎞   ⎛ 1 1 - 2 - 1 1 1⎞
       ⎜                ⎟    ⎜                  ⎟ ⎜                ⎟
       ⎜ 3 - 1 1 4 3 4⎟ ∼    ⎜ 0 - 4 7 7 0 1 ⎟ ∼ ⎜ 0 - 4 7 7 0 1⎟ .
       ⎜                ⎟    ⎜                  ⎟ ⎜                ⎟
       ⎝1 5 - 9 - 8 1 0 ⎠    ⎝ 0 4 - 7 - 7 0 - 1⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 0⎠

   Очевидно, что r(A) = r(⎯A) = 2. Исходная система равносильна сле-
дующей, приведенной к ступенчатому виду:
                               x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
                                 - 4x2 + 7x3 + 7x4     = 1.
   Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их
можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:
                               x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
                                 - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение
системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свобод-
ным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать
частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор
C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
    Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение
в зависимости от значения параметра а.
                               2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,
                                x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
                                x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.
                                                    ⎛2              -1   1    1   1⎞
                                                    ⎜                              ⎟
   Решение. Данной системе соответствует матрица⎯А= ⎜1               2 -1    4    2⎟ .
                                                    ⎜                              ⎟
                                                    ⎝1               7 -4    11   a⎠
           ⎛1 2 - 1 4            2 ⎞    ⎛1    2 -1   4         2 ⎞
           ⎜                        ⎟   ⎜                         ⎟
Имеем ⎯А ~ ⎜ 0 5 - 3 7         a - 2⎟ ~ ⎜ 0   5 -3    7      a - 2⎟ , следовательно,
           ⎜                        ⎟   ⎜                         ⎟
           ⎝0 - 5 3 - 7        -3 ⎠     ⎝0    0 0     0      a - 5⎠
исходная система равносильна такой:

                                                                                   43