Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

42
Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы
(5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для
их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной сис-
темы уравнений.
Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x
1
, x
2
,..., x
n
)
T
называется собст-
венным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A),
если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство
AX = λX.
Число λ называется собственным значением линейного преобразования
(матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.
В математической экономике большую роль играют так называемые
продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной
тогда и
только тогда, когда все собственные значения матрицы A по моду-
лю меньше единицы.
Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равен-
ство AX = λX в виде (A - λE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка
или в координатной форме:
(a
11
-λ)x
1
+ a
12
x
2
+... + a
1n
x
n
=0,
a
21
x
1
+ (a
22
-λ)x
2
+... + a
2n
x
n
= 0,
... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+... + (a
nn
-λ)x
n
= 0.
Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет
ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы
равен нулю, т.е.
A- E
λ
=
a a ... a
a a ... a
... ... ... ... ... ...
a a ... a
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
−
−
−
=
λ
λ
λ
....
0
.
Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, кото-
рое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен
A- E
λ
называется характеристическим многочленом матрицы A, а его
корни - характеристическими числами, или собственными значениями,
матрицы A.
Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравне-
ние (A - λE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений
(5.6) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом. 
    Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы
(5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для
их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной сис-
темы уравнений.
    Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собст-
венным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A),
если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство
                                   AX = λX.
   Число λ называется собственным значением линейного преобразования
(матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.
   В математической экономике большую роль играют так называемые
продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной
тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по моду-
лю меньше единицы.
   Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равен-
ство AX = λX в виде (A - λE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка
или в координатной форме:
                        (a11 -λ)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,
                        a21x1 + (a22 -λ)x2 +... + a2nxn = 0,
                         ... ... ... ... ... ... ... ...                 (5.6)
                        an1x1 + an2x2 +... + (ann-λ)xn = 0.
   Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет
ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы
равен нулю, т.е.
                             a1 1 − λ     a1 2    ...   a1 n
                                a2 1    a 2 2 − λ ...   a2 n
                  A- λE =                                         = 0.
                             .... ... ... ... ... ... ...
                                an1       an2     ... a n n − λ

    Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, кото-
рое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен
 A - λ E называется характеристическим многочленом матрицы A, а его
корни - характеристическими числами, или собственными значениями,
матрицы A.
    Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравне-
ние (A - λE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений
(5.6) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.


42

Страницы