Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

44
x
1
+ 2x
2
- x
3
+ 4x
4
= 2,
5x
2
- 3x
3
+ 7x
4
= a-2,
0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение
в этом случае имеет вид:
x
2
= 3/5 + 3/5x
3
- 7/5x
4
, x
1
= 4/5 - 1/5x
3
- 6/5x
4.
Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векто-
ров:
a
1
= (1, 1, 4, 2),
a
2
= (1, -1, -2, 4),
a
3
= (0, 2, 6, -2),
a
4
= (-3, -1, 3, 4),
a
5
= (-1, 0, - 4, -7).
Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся
такие числа x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ x
3
a
3
+ x
4
a
4
+ x
5
a
5
= 0.
В координатной записи оно равносильно системе уравнений:
x
1
+ x
2
- 3x
4
- x
5
= 0,
x
1
- x
2
+ 2x
3
- x
4
= 0,
4x
1
- 2x
2
+ 6x
3
+3x
4
- 4x
5
= 0,
2x
1
+ 4x
2
- 2x
3
+ 4x
4
- 7x
5
= 0.
Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее
методом исключения неизвестных:
1 1 0 - 3 - 1
1 - 1 2 - 1 0
4 - 2 6 3 - 4
2 4 - 2 4 - 7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∼
1 1 0 - 3 - 1
0 - 2 2 2 1
0 - 10 10 - 5 10
0 2 - 2 10 - 5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∼
1 1 0 - 3 - 1
0 - 2 2 2 1
0 - 2 2 -1 2
0 2 - 2 10 - 5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∼
∼
1 1 0 - 3 - 1
0 - 2 2 2 1
0 0 0 - 3 1
0 0 0 12 - 4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∼
1 1 0 - 3 - 1
0 - 2 2 2 1
0 0 0 - 3 1
0 0 0 0 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∼
1 1 - 3 0 - 1
0 - 2 2 2 1
0 0 - 3 0 1
0 0 0 0 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит,
однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < 
                                     x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
                                         5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,
                                                       0 = a-5.
    Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение
в этом случае имеет вид:
                  x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.
   Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векто-
ров:
                                      a1 = (1, 1, 4, 2),
                                      a2 = (1, -1, -2, 4),
                                      a3 = (0, 2, 6, -2),
                                      a4 = (-3, -1, 3, 4),
                                      a5 = (-1, 0, - 4, -7).
   Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся
такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:
                           x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.
В координатной записи оно равносильно системе уравнений:
                                x1 + x 2 -      3x4 - x5 = 0,
                                x1 - x2 + 2x3 - x4        = 0,
                               4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,
                               2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.
   Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее
методом исключения неизвестных:
     ⎛1   1       0       -3   - 1⎞ ⎛ 1 1    0 - 3 - 1⎞        ⎛1 1 0      - 3 -1⎞
     ⎜                            ⎟ ⎜                 ⎟        ⎜                 ⎟
     ⎜1 - 1       2       -1     0⎟ ⎜ 0 - 2
                                   ∼
                                              2   2 1⎟
                                                        ∼      ⎜0 - 2 2      2 1⎟
                                                                                   ∼
     ⎜4 - 2       6        3   - 4⎟ ⎜ 0 - 10 10 - 5 10⎟        ⎜0 - 2 2    -1   2⎟
     ⎜                            ⎟ ⎜                 ⎟        ⎜                 ⎟
     ⎝2 4        -2        4   - 7⎠ ⎝ 0 2 - 2 10 - 5⎠          ⎝0   2 -2   10 - 5⎠
        ⎛1 1          0    - 3 - 1⎞ ⎛ 1 1       0   - 3 - 1⎞ ⎛ 1 1 - 3      0 - 1⎞
        ⎜                         ⎟ ⎜                      ⎟ ⎜                   ⎟
          0 -2        2      2 1⎟ ⎜ 0 - 2       2     2 1⎟ ⎜ 0 - 2  2       2 1⎟
     ∼ ⎜⎜                          ∼                        ∼                      .
          0 0         0    - 3 1⎟ ⎜ 0   0       0   - 3 1⎟ ⎜ 0   0 -3       0 1⎟
        ⎜                         ⎟ ⎜                      ⎟ ⎜                   ⎟
        ⎝0 0          0    12 - 4⎠ ⎝ 0  0       0    0 0 ⎠ ⎝0    0  0       0 0⎠

   Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит,
однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r <


44

Страницы