Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 47 стр.

n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их
можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:
                                     x1 + x2 - 3x4 = x5,
                                        -2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,
                                              - 3x4 = - x5.
   Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.
   Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные не-
известные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные
отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение
                         x 1 a1 + x 2 a2 + x 3 a3 + x 4 a4 + x 5 a 5 = 0
имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 =
6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение
                               6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,
т.е. данная система векторов линейно независима.
     Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы
                                      ⎛3 - 1  0  0⎞
                                      ⎜            ⎟
                                      ⎜ 1  1  0  0⎟
                                   A= ⎜              .
                                        3  0 -5 -3 ⎟
                                      ⎜            ⎟
                                      ⎝4 - 1  3  1⎠

   Решение. Вычислим определитель матрицы A - λE:
               ⎛3 − λ         -1    0         0⎞           ⎛    0              -1           0      0⎞
               ⎜                                 ⎟         ⎜ 2                                        ⎟
                 1           1- λ   0        0 ⎟           ⎜ λ - 4λ + 4        1- λ         0      0⎟
 A - λ E = det ⎜                                   = det   ⎜                                            =
               ⎜ 3            0 - 5- λ       - 3⎟               3               0       - 5- λ   -3 ⎟
               ⎜                                 ⎟         ⎜                                          ⎟
               ⎝ 4           -1    3        1- λ ⎠         ⎝ 1+ λ              -1           3    1- λ ⎠

                   λ 2 − 4λ + 4         0       0
                                                                         5+λ        3
               =         3         - 5- λ     - 3 = − ( λ 2 − 4λ + 4 )                  .
                                                                          3    1- λ
                       1+ λ          3       1- λ

   Итак, A - λ E = (λ - 2)2 ⋅ (λ+2)2. Корни характеристического уравнения
A - λ E =0 - это числа λ1 = 2 и λ2 = -2. Другими словами, мы нашли собст-
венные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов мат-
рицы A подставим найденные значения λ в систему (5.6): при λ = 2 имеем
систему линейных однородных уравнений
             x1 - x2               = 0,                x 1 - x2                = 0,
                                                                                                        45