Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

40
Отсюда x
1
= Δ
1
/Δ = 1, x
2
= Δ
2
/Δ = 2, x
3
= Δ
3
/Δ = 3, x
4
= Δ
4
/Δ = -1, реше-
ние системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)
T
.
5.4. Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпада-
ет с вектором C = A
−1
B. Иначе говоря, данная система имеет единственное
решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A
−1
B называют
матричным способом решения системы, или решением по методу обрат-
ной матрицы.
Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений
x
1
- x
2
+ x
3
= 6,
2x
1
+ x
2
+ x
3
= 3,
x
1
+ x
2
+2x
3
= 5.
Решение. Обозначим
A =
1 - 1 1
2 1 1
1 1 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, X = (x
1
, x
2
, x
3
)
T
, B = (6, 3, 5)
T.
Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.
Поскольку Δ = det
1 - 1 1
2 1 1
1 1 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=5 ≠ 0, то матрица A невырождена и поэтому
имеет обратную:
А
−1
= 1/Δ
A A A
A A A
A A A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B сле-
ва на матрицу A: X = A
−1
B. В данном случае
A
−1
=
1
5
1 3 - 2
-3 1 1
1 - 2 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
и, следовательно,
x
x
x
1
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
1
5
1 3 - 2
-3 1 1
1 - 2 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
6
3
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
. 
   Отсюда x1 = Δ 1/Δ = 1, x2 = Δ 2/Δ = 2, x3 = Δ 3/Δ = 3, x4 = Δ 4/Δ = -1, реше-
ние системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

    5.4. Матричный метод
    Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпада-
ет с вектором C = A−1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное
решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A−1B называют
матричным способом решения системы, или решением по методу обрат-
ной матрицы.
    Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений
                                    x1 - x2 + x3 = 6,
                                   2x1 + x2 + x3 = 3,
                                    x1 + x2 +2x3 = 5.
     Решение. Обозначим
                    ⎛1 - 1       1⎞
                    ⎜             ⎟                   T                T.
                A = ⎜2 1         1⎟ , X = (x1, x2, x3) , B = (6, 3, 5)
                    ⎜             ⎟
                    ⎝1 1         2⎠

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.
                  ⎛1 - 1      1⎞
                  ⎜            ⎟
Поскольку Δ = det ⎜ 2 1       1⎟ =5 ≠ 0, то матрица A невырождена и поэтому
                  ⎜            ⎟
                  ⎝1 1        2⎠
имеет обратную:
                                         ⎛ A 11 A 21 A 31 ⎞
                              −1         ⎜                ⎟
                             А     = 1/Δ ⎜ A 12 A 22 A 32 ⎟ .
                                         ⎜                ⎟
                                         ⎝ A 13 A 23 A 33 ⎠

    Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B сле-
ва на матрицу A: X = A−1B. В данном случае
                                          ⎛ 1 3 - 2⎞
                                   −1    1⎜        ⎟
                                 A      = ⎜ -3 1 1⎟
                                         5⎜        ⎟
                                          ⎝ 1 - 2 3⎠

и, следовательно,
                             ⎛ x1 ⎞      ⎛ 1 3 - 2⎞ ⎛ 6 ⎞
                             ⎜ ⎟ 1⎜               ⎟ ⎜ ⎟
                             ⎜ x 2 ⎟ = 5 ⎜ -3 1  1⎟ ⎜ 3 ⎟ .
                             ⎜ ⎟         ⎜        ⎟ ⎜ ⎟
                             ⎝ x3 ⎠      ⎝ 1 - 2 3⎠ ⎝ 5 ⎠

40

Страницы