Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 53 стр.

                                     ⎛ 0,9    0 - 0,6 ⎞
                                     ⎜                  ⎟
                                E-A= ⎜ 0      0,3 - 0,2 ⎟ ,
                                     ⎜                  ⎟
                                     ⎝ -0,7 - 0,1 0,9⎠

значит,
             ⎛ 0,9    0 - 0,6 ⎞ ⎛ 100 ⎞ ⎛ 0,9 ⋅ 100 + 0 − 0,6 ⋅ 150⎞ ⎛ 0 ⎞
             ⎜                  ⎟ ⎜    ⎟ ⎜                                  ⎟ ⎜ ⎟
          Y= ⎜ 0      0,3 - 0,2 ⎟ ⎜ 200⎟ = ⎜ 0 + 0,3 ⋅ 200 - 0,2 ⋅ 150 ⎟ = ⎜ 30⎟ .
             ⎜                  ⎟ ⎜    ⎟ ⎜                                  ⎟ ⎜ ⎟
             ⎝ -0,7 - 0,1 0,9⎠ ⎝ 150 ⎠ ⎝ -0,7 ⋅ 100 - 0,1 ⋅ 200 + 0,9 ⋅ 150 ⎠ ⎝ 45⎠

   Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-
выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических
коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где
                                 ⎛ 0,125 0,125⎞     ⎛ 300⎞
                             A= ⎜             ⎟ ; Y=⎜    ⎟.
                                 ⎝ 1,125 0,125⎠     ⎝ 400⎠

   Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует
найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое
уравнение:
                                  0,125 - λ      0,125
                                                         = 0,
                                   1,125       0,125 - λ

или
                 (0,125 -λ)2 - 0,140625 = 0 ⇒ 0,125 - λ = ± 0,375.
   Следовательно, λ1 = 0,5; λ2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше еди-
ницы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная.
Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу
X = (E - A) −1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы
                                         ⎛ 0,875 - 0,125⎞
                                 E - A= ⎜               ⎟.
                                         ⎝ -1,125 0,875 ⎠

                                                1 ⎛ A 11 A 21 ⎞    1 ⎛ 0,875 0,125⎞
   Обозначим B = E-A, тогда B-1 =                   ⎜           ⎟=    ⎜            ⎟.
                                              det B ⎝ A 12 A 22 ⎠ 5,4 ⎝ 1,125 0,875⎠
   Следовательно,
           1 ⎛ 0,875 0,125⎞ ⎛ 300⎞   1 ⎛ 0,875 ⋅ 300 + 0,125 ⋅ 400⎞   1 ⎛ 312,5⎞ ⎛ 57,9 ⎞
   X=         ⎜            ⎟ ⋅⎜   ⎟=    ⎜                          ⎟=    ⎜      ⎟ =⎜     ⎟.
          5,4 ⎝ 1,125 0,875⎠ ⎝ 400⎠ 5,4 ⎝ 1125
                                           ,   ⋅ 300 + 0,125 ⋅ 400 ⎠ 5,4 ⎝ 687,5⎠ ⎝ 127,3⎠




                                                                                         51