Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

52
III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6. Предел функции
6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {x
n
},
если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует
номер N, что все значения x
n,
у которых n>N, удовлетворяют неравенству
⎢x
n
- a ⎢ < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом:
n
n
lim
xa
→∞
=
или x
n
→ a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x
n
< a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x
n
, начиная с некоторого номера n>N, лежат
внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-
окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в про-
тивном случае - расходящейся.
Понятие предела функции является обобщением понятия предела по-
следовательности, так как предел последовательности можно рассматри-
вать как предел функции x
n
= f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области опреде-
ления этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой со-
держит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать
множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x)
при x
→a, если для всякой последовательности {x
n
} значений аргумента,
стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x
n
)} имеют
один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне,
или “на языке последовательностей”.
Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x)
при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число
ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих
в δ-
окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < ⏐x-a⏐ < δ, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа
А, т.е. ⎢f(x)-A ⎢ < ε.
Это определение называют определением предела функции по Коши,
или “на языке ε - δ“. 
     III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

   6. Предел функции
   6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
   Постоянное число а называется пределом последовательности {xn},
если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует
номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
                                 ⎢xn - a ⎢ < ε.                    (6.1)
Записывают это следующим образом: lim x n = a или xn → a.
                                       n →∞

     Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
                               a- ε < xn < a + ε,                  (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат
внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-
окрестность точки а.
    Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в про-
тивном случае - расходящейся.
    Понятие предела функции является обобщением понятия предела по-
следовательности, так как предел последовательности можно рассматри-
вать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
    Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области опреде-
ления этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой со-
держит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать
множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
    Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x)
при x→a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента,
стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют
один и тот же предел А.
    Это определение называют определением предела функции по Гейне,
или “на языке последовательностей”.
    Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x)
при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число
ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в δ-
окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < ⏐x-a⏐ < δ, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа
А, т.е. ⎢f(x)-A ⎢ < ε.
    Это определение называют определением предела функции по Коши,
или “на языке ε - δ“.


52

Страницы