Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

54
x0
lim
→
sin x
x
= 1, (6.10)
α
→0
lim
(1 + α)
1/ α
= e, (6.11)
где e ≈ 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11)
носят название первого и второго замечательного пределов.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
α
→0
lim
log (1+ )
c
α
α
= log
c
e, (6.12)
α
→0
lim
(a
α
- 1)/α = ln a, (6.13)
α
→0
lim
((1 + α)
μ
- 1)/α = μ, (6.14)
в частности,
α
→0
lim
ln(1+ )
α
α
= 1.
Eсли x→ a и при этом x > a, то пишут x→ a+0. Если, в частности, a=0,
то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x<a, то
пишут x→a-0. Числа
x a+0
lim
f(x)
→
и
xa-0
lim
f(x)
→
называются соответственно преде-
лом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования
предела функции f(x) при x→a необходимо и достаточно, чтобы
xa+0
lim
f(x)
→
=
xa-0
lim
f(x)
→
.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x
0
, если
xx
o
0
lim
f(x) = f(x
→
)
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
xx xx
o
00
lim
f(x) = f( x
→→
lim
)
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она не-
прерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x
o
функция f(x)
имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой
функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предель-
ной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в лю-
бом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она 
                                                  sin x
                                          lim           = 1,                  (6.10)
                                          x→ 0      x
                                                           1/ α
                                   lim (1 + α)                    = e,        (6.11)
                                   α →0


где e ≈ 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11)
носят название первого и второго замечательного пределов.
   Используются на практике и следствия формулы (6.11):
                                         log c (1+ α )
                                 lim                              = logc e,   (6.12)
                                 α →0            α
                                         α
                                   lim (a - 1)/α = ln a,                      (6.13)
                                   α →0


                                                       μ
                                 lim ((1 + α) - 1)/α = μ,                     (6.14)
                                 α →0


в частности,
                                                 ln(1+ α )
                                        lim                       = 1.
                                        α →0           α
    Eсли x→ a и при этом x > a, то пишут x→ a+0. Если, в частности, a=0,
то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x

Страницы