Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

55
сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x
o
)= f(0) не определено,
поэтому в точке x
o
= 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x
o
, если
xx
0
0
f(x) = f(x
→+0
lim
)
,
и непрерывной слева в точке x
o,
если
xx
0
0
lim
f(x) = f(x
→−0
) .
Непрерывность функции в точке x
o
равносильна ее непрерывности в
этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x
o
, например, спра-
ва, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел
xx
0
lim
f(x)
→+0
,
а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x
o
). Следовательно, если хотя
бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь
разрыв.
1. Если
xx
0
lim
f(x)
→+0
существует и не равен f(x
o
), то говорят, что функция
f(x) в точке x
o
имеет разрыв первого рода, или скачок.
2. Если
xx
0
lim
f(x)
→+0
равен ∞ или не существует, то говорят, что в точке x
o
функция имеет разрыв второго рода.
Например, функция y = ctg x при x→ +0 имеет предел, равный +∞, зна-
чит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая
часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или
скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется
непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается
сплошной кри-
вой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связан-
ные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, на-
пример, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост насе-
ления страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и
т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа
e
в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e =
n
n
lim
n
→∞
+()1
1
. В
сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу
ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быст-
рее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем
чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 
сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено,
поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.
   Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если
                               lim f(x) = f(x 0 ) ,
                              x→ x 0 +0


и непрерывной слева в точке xo, если
                               lim f(x) = f(x 0 ) .
                              x → x 0 −0


    Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в
этой точке одновременно и справа и слева.
    Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, спра-
ва, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел lim f(x) ,
                                                                    x→ x 0 +0

а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя
бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь
разрыв.
    1. Если lim f(x) существует и не равен f(xo), то говорят, что функция
            x→ x 0 +0

f(x) в точке xo имеет разрыв первого рода, или скачок.
    2. Если lim f(x) равен ∞ или не существует, то говорят, что в точке xo
           x→ x 0 +0

функция имеет разрыв второго рода.
     Например, функция y = ctg x при x→ +0 имеет предел, равный +∞, зна-
чит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая
часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или
скачки.
     Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется
непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кри-
вой.
     Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связан-
ные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, на-
пример, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост насе-
ления страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и
т.п.
     Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа
                                                                        1
e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = lim (1 + ) n . В
                                                             n →∞       n
сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу
ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быст-
рее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем
чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено

                                                                                55

Страницы