Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

57
x
n
=
11
34
15
12
1
3
2
2
+
−
+
+
+
→
/
/
//
/
n
n
nn
n
.
Пример 3.3. x
n
=
45
31
6
n
n
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
. Найти
n
lim
→∞
x
n
.
Решение.
45
31
6
n
n
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
4
5
3
1
4
3
6
6
−
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
n
.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени
равен степени от предела основания.
Пример 3.4. Найти
n
lim
→∞
(
nnn
2
3+−
).
Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку
имеем неопределенность вида ∞ - ∞. Преобразуем формулу общего члена:
nnn
2
3+− =
()()nnnnnn
nnn
n
nnn
n
22
22
33
3
3
3
3
1
3
1
3
2
+− ++
++
=
++
=
++
→
.
Пример 3.5. Дана функция f(x)=2
1/x
. Доказать, что
x
lim
f(x)
→0
не существу-
ет.
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через по-
следовательность. Возьмем последовательность { x
n
}, сходящуюся к 0, т.е.
n
lim
→∞
x
n
=0. Покажем, что величина f(x
n
)=
2
1/ x
n
для разных последовательно-
стей ведет себя по-разному. Пусть x
n
= 1/n. Очевидно, что
n
lim
→∞
1/n =0, тогда
n
lim
→∞
2
1/ x
n
=
n
lim
→∞
2
n
= +∞. Выберем теперь в качестве x
n
последовательность с
общим членом x
n
= -1/n, также стремящуюся к нулю.
n
lim
→∞
2
1/ x
n
=
n
lim
→∞
2
− n
=
n
lim
→∞
1/2
n
= 0. Поэтому
x0
lim
→
2
1/x
не существует.
Пример 3.6. Доказать, что
x
lim
→∞
sin x не существует.
Решение. Пусть x
1
, x
2
,..., x
n
,... - последовательность, для которой
n
lim
→∞
x
n
= ∞. Как ведет себя последовательность {f(x
n
)} = {sin x
n
} при раз-
личных x
n
→∞ ?
Если x
n
= πn, то sin x
n
= sin πn = 0 при всех n и
n
lim
→∞
sin x
n
=0. Если же
x
n
=2πn+π/2, то sin x
n
= sin(2πn+π/2) = sin π/2 = 1 для всех n и следовательно
n
lim
→∞
sin x
n
=1. Таким образом,
n
lim
→∞
sin x не существует. 
                                          1 + 1/ n2 1/ n + 5 / n  1
                                 xn =               +            → .
                                          3− 4/ n 2
                                                      1+ 2/ n     3
                                          6
                           4n − 5⎞
       Пример 3.3. xn = ⎛⎜        ⎟ . Найти lim xn.
                         ⎝ 3n + 1 ⎠         n →∞
                                              6
                                 ⎛   5⎞
                             6   ⎜ 4− ⎟         6
                       −
       Решение. ⎛⎜         ⎞         n ⎟ → ⎛ 4⎞ .
                   4 n   5
                           ⎟   = ⎜         ⎜ ⎟
                 ⎝ 3n + 1 ⎠ ⎜        1     ⎝ 3⎠
                                   3+ ⎟
                                 ⎝   n⎠
   Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени
равен степени от предела основания.
   Пример 3.4. Найти lim ( n 2 + 3n − n ).
                                 n →∞

   Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку
имеем неопределенность вида ∞ - ∞. Преобразуем формулу общего члена:
                           ( n 2 + 3n − n)( n 2 + 3n + n)              3n                   3           3
          n 2 + 3n − n =                                    =                      =                →     .
                                        n 2 + 3n + n                n 2 + 3n + n            3           2
                                                                                       1+     +1
                                                                                            n
       Пример 3.5. Дана функция f(x)=21/x. Доказать, что lim f(x) не существу-
                                                         x →0

ет.
   Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через по-
следовательность. Возьмем последовательность { xn }, сходящуюся к 0, т.е.
lim xn =0. Покажем, что величина f(xn)= 2 для разных последовательно-
                                         1/ x                   n

n →∞

стей ведет себя по-разному. Пусть xn = 1/n. Очевидно, что lim 1/n =0, тогда
                                                          n →∞

lim 2
      1/ x
           = lim 2n = +∞. Выберем теперь в качестве xn последовательность с
           n

n →∞           n →∞

общим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю. lim 2 1/ x = lim 2− n=                        n

                                                  n →∞         n →∞
           n                            1/x
lim 1/2 = 0. Поэтому lim 2                    не существует.
n →∞                           x→ 0

       Пример 3.6. Доказать, что lim sin x не существует.
                                 x →∞

    Решение. Пусть x1, x2,..., xn,... - последовательность, для которой
lim xn = ∞. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при раз-
n →∞

личных xn →∞ ?
   Если xn= πn, то sin xn= sin πn = 0 при всех n и lim sin xn =0. Если же
                                                   n →∞

xn=2πn+π/2, то sin xn= sin(2πn+π/2) = sin π/2 = 1 для всех n и следовательно
lim sin xn =1. Таким образом, lim sin x не существует.
n →∞                                          n →∞




                                                                                                              57

Страницы