Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

59
3. Числитель и знаменатель при x→∞ являются бесконечно большими
функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не при-
менима. Разделим числитель и знаменатель на x
2
и к полученной функции
применим теорему о пределе частного:
x
xx-2
2
2
−
−
4
=
1
1
2
1
−
−−
→
4
x
1
x
x
2
2
.
Пример 3.11. Найти
x9
lim
→
x-1
x-9
3
2−
.
Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к ну-
лю:
x-1
3
20−→, x-9→0, т.е. имеем неопределенность вида
0
0
.
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на
неполный квадрат суммы выражения
x-1
3
2− , получим
x-1
x-2
x-9
(x - 9)( (x - 1) x - 1 (x - 1) x - 1
2
3
2
3
3
3
3
2
24
1
24
1
444
1
12
−
=
++
=
++
→
++
=
)
.
Пример 3.12. Найти
x-
lim
→∞
()1
2
+
x
x+5
.
Решение.
()1
2
+
x
x+5
= (( ) ) ( )1
2
1
2
1
25
+⋅+→⋅=
xx
ee
x
2
22
.
6.2. Применение пределов в экономических расчетах
Сложные проценты
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты,
т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы вре-
мени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В
некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерыв-
ными процессами, возникает необходимость в
применении непрерывных
процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:
S = P(1 + i)
n
. (6.16)
Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной
дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.
Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся
по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к
сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капи-
тализацией процентов. В финансовой практике
часто сталкиваются с зада-
чей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, ко-
   3. Числитель и знаменатель при x→∞ являются бесконечно большими
функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не при-
менима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции
применим теорему о пределе частного:
                                                                  4
                                                             1−
                                         x2 − 4                   x2
                                                  =                    → 1.
                                       x2 − x - 2         1 2
                                                        1− − 2
                                                          x x
                                            3
                                                x -1 − 2
       Пример 3.11. Найти lim                            .
                          x→ 9                   x-9
       Решение.        Здесь       числитель             и        знаменатель        стремятся         к     ну-
                                                                                           0
лю: 3 x - 1 − 2 → 0 , x-9→0, т.е. имеем неопределенность вида                                .
                                                                                           0
   Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на
неполный квадрат суммы выражения 3 x - 1 − 2 , получим
   3
        x -1 − 2                   x-9                                      1                      1      1
                 =                                      =                                  →            =   .
         x-2       (x - 9)( 3 (x - 1) 2 + 23 x - 1 + 4)       3
                                                                  (x - 1) + 23 x - 1 + 4
                                                                        2                      4 + 4 + 4 12

                                                    2
       Пример 3.12. Найти lim (1 + ) x+5 .
                          x→ - ∞                    x
                                                x
                          2             2                2
       Решение. (1 + ) x+5 = ((1 + ) 2 ) 2 ⋅ (1 + ) 5 → e 2 ⋅ 1 = e 2 .
                          x             x                x

    6.2. Применение пределов в экономических расчетах
    Сложные проценты
    В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты,
т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы вре-
мени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В
некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерыв-
ными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных
процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:
                                            S = P(1 + i)n.                                                 (6.16)
Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной
дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.
Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся
по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к
сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капи-
тализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с зада-
чей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, ко-

                                                                                                                59

Страницы