Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

58
Пример 3.7. Найти
x0
lim
→
sin 5x
x
.
Решение. Имеем:
sin 5x
x
= 5
sin 5
5
x
x
. Обозначим t = 5x. При x→0 имеем:
t→0. Применяя формулу (3.10), получим 5
sin t
t
→
5.
Пример 3.8. Вычислить
x
lim
→
π
sin
sin
3
4
x
x
.
Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0.Имеем:
sin 3x = sin 3(π-y) = sin (3π-3y) = sin 3y.
sin 4x = sin 4(π-y) = sin (4π-4y)= - sin 4y.
x
lim
→
π
sin
sin
3
4
x
x
=-
y0 y0 y0
lim lim lim
sin3y
3y
y
sin4y
→→→
=− ⋅ ⋅ =−
sin
sin
3
4
43
4
3
4
y
y
.
Пример 3.9. Найти
x0
lim
→
arcsin x
x
.
Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0 t→0.
arcsin x
x
=
t
sin t
→ 1
.
Пример 3.10. Найти 1)
x1
lim
→
x
xx-2
2
2
−
−
4
; 2)
x2
lim
→
x
xx-2
2
2
−
−
4
; 3)
x
lim
→∞
x
xx-2
2
2
−
−
4
.
Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим
предел знаменателя:
x1
lim
→
(x x - 2) = 1-1- 2 = -2
2
− .
Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе
частного, получаем:
x1
lim
→
x
xx-2
2
2
−
−
4
=
x1
2
x1
2
lim
lim
x
xx-2)
→
→
−
−
=
−
−
=
()
(
4
3
2
3
2
.
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место
неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно
неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную
функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 ра-
венство:
x
xx-2
2
2
−
−
4
=
x
x+1
+ 2
.
Так как
x2
lim
→
(x+1) ≠ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем
x2
lim
→
x
xx-2
2
2
−
−
4
=
x2
lim
→
x
x+1
+ 2
=
x2
x2
lim
lim
x
x+1)
→
→
+
=
()
(
2
4
3
. 
                         sin5x
     Пример 3.7. Найти lim      .
                       x→ 0 x
                   sin5x       sin5x
   Решение. Имеем:       =5            . Обозначим t = 5x. При x→0 имеем:
                     x           5x
                                            sin t
t→0. Применяя формулу (3.10), получим 5           → 5.
                                              t
                               sin 3x
   Пример 3.8. Вычислить lim            .
                          x →π sin 4 x

     Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0.Имеем:
     sin 3x = sin 3(π-y) = sin (3π-3y) = sin 3y.
     sin 4x = sin 4(π-y) = sin (4π-4y)= - sin 4y.
          sin 3x           sin 3 y          sin3y           4y 3   3
     lim          =- lim           = − lim         ⋅ lim       ⋅ =− .
     x →π sin 4 x    y → 0 sin 4 y      y→ 0 3y      y→ 0 sin4y 4  4
                                        arcsin x
     Пример 3.9. Найти lim                       .
                                   x→ 0     x
     Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0 t→0.
arcsin x     t
         =       → 1.
   x       sin t
                                  x2 − 4              x2 − 4              x2 − 4
     Пример 3.10. Найти 1) lim 2           ; 2) lim 2          ; 3) lim 2          .
                            x →1 x − x - 2      x→ 2 x − x - 2      x →∞ x − x - 2

   Решение.
   1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим
предел знаменателя: lim (x 2 − x - 2) = 1- 1- 2 = -2 .
                            x →1

     Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе
                                       lim ( x − 4)
                                              2
                           x2 − 4                      −3 3
частного, получаем: lim 2           = x→1 2          =   = .
                     x →1 x − x - 2  lim ( x − x - 2) −2 2
                                              x →1

   2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место
неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно
неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную
функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 ра-
венство:
                                          x2 − 4   x +2
                                                 =      .
                                        x − x-2 x +1
                                         2


     Так как lim (x+1) ≠ 0, то, по теореме о пределе частного, найдем
             x→ 2


                              x2 − 4          x +2    lim ( x + 2) 4
                        lim 2          = lim        = x→ 2
                                                                  = .
                        x→ 2 x − x - 2   x→ 2 x + 1   lim ( x + 1) 3
                                                            x→ 2




58

Страницы