Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 58 стр.

100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут при-
соединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сро-
ку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превра-
тятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному ка-
питалу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в
100 ⋅ 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 ⋅ 1,5 = 225 (ден. ед.). Если при-
соединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. пре-
вратятся в 100 ⋅ (1 +1/3)3 ≈237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоедине-
ния процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда
из 100 ден. ед. спустя год получится:
                         100 ⋅ (1 +1/10)10 ≈ 259 (ден. ед.),
                         100 ⋅ (1+1/100)100 ≈ 270 (ден. ед.),
                         100 ⋅ (1+1/1000)1000 ≈ 271 (ден. ед.).
    При безграничном сокращении сроков присоединения процентов на-
ращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому
пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, поло-
женный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие
проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
                                       1
                                lim (1 + ) = e.
                                          n

                                n →∞   n
   Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последова-
тельности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, рав-
ный 1.
   Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε>0 мы ни взяли, для него
найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место нера-
венство ⏐ xn -1 ⏐<ε.
   Возьмем любое ε >0. Так как ⏐ xn -1 ⏐=⏐(n+1)/n - 1⏐= 1/n, то для оты-
скания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следова-
тельно, за N можно принять целую часть от 1/ε, N = E(1/ε). Мы тем самым
доказали, что lim xn = 1.
                n →∞

     Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим чле-
            n2 + 1   n +5
ном xn =           +      .
           3n − 4 n + 2
              2

   Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждо-
го слагаемого. При n →∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого
стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить
теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив
числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем,
применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

56